射影だが直交射影でない行列の例をわかりやすく解説

2025年2月16日

この記事では射影だが直交射影でない行列の例をわかりやすく解説します。
有限次元ユークリッド空間\(\mathbb R^n\)上での話をします。

定義：射影行列

行列
\begin{align*} P: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n\end{align*}
は、冪等性、つまり
\begin{align*} P^2 = P \end{align*}
を満たす時に、射影行列という。

直交射影の定義も確認しておきましょう。

定義：直交射影行列

対称な射影行列を、直交射影行列という。

射影だが、直交射影ではない行列の例は、
\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\end{align*}
です。
なぜならば、
\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align*}
なので射影行列である一方で、
\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\end{align*}
なので対称行列でないからです。

おまけ：なぜ直交射影というのか

\(P\)が直交射影であれば、\(v \in \mathbb R^n\)に対して、\(v\)を
\begin{align*} Pv + (I- P)v \end{align*}
と、射影を作用させた後と、それ以外の部分に分けてやると、内積が
\begin{align*} (Pv, (I-P) v) &= (v, P^t(I – P) v) \\&= (v, (P – P)v) \\&= (v, 0) \\&= 0 \end{align*}
となるからです。ただし途中で\(P^t = P\)と\(P^2 = P\)を用いました。