年金終価の期始払いと期末払いの再帰的関係式の導出を解説

金融計算や資産運用において、「年金終価」は重要な概念です。特に、支払いのタイミングによって「期始払い」と「期末払い」の2種類が存在し、それぞれの将来価値（終価）は異なります。
本記事では、これら2つの年金終価の再帰的関係式を導出し、その背後にある数学的な原理を詳しく解説します。

まず、記号を導入します。
各期の利率を、\(i\)とします。
\(n\)期間にわたり、毎期末に1ずつ払われる年金の終価を\(s_n\)で表します。
\(n\)期間にわたり、毎期始に1ずつ払われる年金の終価を\(\ddot s_n\)で表します。

このとき、次の再帰的関係が成り立ちます。

このことを確認してみましょう。

次の事実を思い出しておきます。
\begin{align*} \ddot s_n = \frac{(1 + i)^n – 1}{i \cdot \frac{1}{1 + i}} \\ s_{n+1} = \frac{(1 + i)^{n+1} – 1}{i}\end{align*}
\(\ddot s_n\)の方から変形していくことにすると、
\begin{align*} \ddot s_n &= \frac{(1 + i)^n – 1}{i \cdot \frac{1}{1 + i}}
\\&=\frac{ \left((1 + i)^n – 1 \right)(1 + i) }{i }
\\&= \frac{ (1 + i)^{n+1} – (1 + i) }{i }
\\&= \frac{ (1 + i)^{n+1} – 1 }{i } \,\, – \,\, \frac{i}{i}
\\&= s_{n+1} – 1 \end{align*}
が得られます。

期始払いと期末払いの年金終価は、支払いのタイミングの違いによって将来価値が異なります。
再帰的関係式を理解することで、どちらか一方の終価がわかればもう一方の終価を容易に計算できます。

参考になりましたでしょうか。この記事を通じて、年金終価の計算とその再帰的関係式について深く理解していただければ幸いです。