二次形式の指数関数e^{ix^tAx}のフーリエ変換の証明

二次形式の指数関数e^{ix^tAx}のフーリエ変換の証明をわかりやすく解説します。このタイプの関数のフーリエ変換は、停留位相(定常位相)の方法において基本的な役割を果たします。

二次形式の指数関数e^{ix^tAx}のフーリエ変換の証明

事前準備1

\begin{align*}e^{i x^tAx} e^{- \epsilon x^2} \rightarrow e^{ix^tAx} \quad \textrm{in} \quad \mathcal S^\prime \end{align*}
が成り立ちます。

実際、任意の\(\varphi \in \mathcal S\) に対して
\(e^{i x^tAx} e^{- \epsilon x^2} \varphi(x)| \leq |\varphi(x)\) であることから、
\begin{align*}\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int e^{i x^tAx} e^{- \epsilon x^2} \varphi(x) dx
&= \int \lim_{\epsilon \rightarrow 0} e^{i x^tAx} e^{- \epsilon x^2} \varphi(x) dx
\\&= \int e^{ix^t A x} \varphi(x) dx \end{align*}

事前準備2

\begin{align*} F(e^{ix^tA}) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} F(e^{i x^tAx} e^{- \epsilon x^2}) \end{align*}
が成り立ちます。これは、フーリエ変換が\(\mathcal S^\prime\) 上の連続関数であることから従います。

\(F(e^{ix^tA})\) は\(S^\prime\) におけるフーリエ変換ですが、
\( F(e^{i x^tAx} e^{- \epsilon x^2}) \) は\(L^1\) におけるフーリエ変換です。
場合により後者の方が直接計算し易いです。

事前準備3

この記事では複素数の平方根\(\sqrt{z}\) は\(\zeta ^2 = z\) となる\(\zeta \) のうち、右半平面に位置する複素数を選ぶことにする。

例えば
\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{-i 2}} = \frac{\sqrt{i}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i \frac{\pi}{4}} \end{align*}
である一方で、
\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{-i (-2)}} = \frac{\sqrt{-i}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i \frac{ – \pi}{4}} \end{align*}

このことから、
\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{-i \lambda}} = \frac{1}{\sqrt{|\lambda|}} e^{i \frac{ \textrm{sgn}(\lambda) \pi}{4}} \end{align*}
であることがわかる。
ここで、\(\textrm{sgn}{\lambda} = \frac{\lambda}{| \lambda |}\)により定める。

二次形式の指数関数e^{ix^tAx}のフーリエ変換の証明

\(A\) は実対称行列なので、適当な直交行列\(O\)で対角化できる。
固有値を\(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) で表すことにする。

\begin{align*} \int e^{-\xi x } e^{ i x^t A x – \epsilon x^2} dx
&= \int e^{ – \xi Oy}e^{y^t O^t A O y – \epsilon (Oy)^2} dy
\\ &= \int e^{ – i \xi Oy} e^{i \Sigma j \lambda_j y_j ^2 – \epsilon y^2} dy
\\&= \prod_j \int{\mathbb R} \dots\int_{\mathbb R} e^{ -i\xi O y}e^{i(\lambda_j – \epsilon)y_j^2} dy_1 \dots dy_n
\\&= \prod_j \sqrt{\frac{\pi}{\epsilon-i \lambda_j}}e^{- \frac{(O^t \xi)_j^2}{4(\epsilon – i \lambda_j)}}
\\&\rightarrow \prod_j \sqrt{\frac{\pi}{-i \lambda_j}}e^{- \frac{(O^t \xi)_j^2}{\lambda_j}}
\\&=\pi^{\frac{n}{2}} e^{\textrm{sgn}A i \frac{\pi}{4}} \frac{1}{ |\det A| }e^{-i \frac{\xi^t A^{-1} \xi}{4}}\end{align*}
と計算できる。