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この記事ではSherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説します。 Sherman-Morrison-Woodburyの公式 定理：Sherman-Morrison-Woodburyの公式 $latex A$を$latex n\times n$の正則行列、$latex U$を$latex n\times k$、$latex C$を$l...

この記事では回帰分析におけるレバレッジ(leverage)の定義をわかりやすく解説します。誤差項のある線形回帰モデル\begin{align*} y = X \beta + \varepsilon \end{align*}を考えます。ハット行列を\begin{align*} H = X \left(X^t X \right)^{-1} X^t \end...

この記事では、擬似逆行列によるハット行列の定義は適切に直交射影であることを解説最初に擬似逆行列の定義を確認しておきます。 定義：擬似逆行列(Moore-Penrose逆行列, 一般化逆行列) $latex A$を$latex n\times m$(複素)行列とする。$latex m\times n$(...

この記事では射影だが直交射影でない行列の例をわかりやすく解説します。有限次元ユークリッド空間$latex \mathbb R^n$上での話をします。 定義：射影行列 行列\begin{align*} P: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n\end{align*}は、冪等性、つまり\begi...

この記事では線形回帰モデルで制限付きモデルとの残差平方和の差がカイ二乗分布に従うことを証明します。 線形回帰モデルの設定 \begin{align*} y = X \beta + \varepsilon, \quad \varepsilon \sim N(0, \sigma^2 I) \end{align*}という線形回帰モデルを...

この記事では多変量標準正規分布の対称冪等行列による2次形式が、冪等行列のランクを自由度とするカイ二乗分布に従うことを証明します。つまり主張は次のとおりです。 命題 $latex x$を$latex n$次元多変量標準正規分布\begin{align*} x \sim N (0, I)\end...

この記事では、多変量標準正規分布の直交行列による変換も多変量標準正規分布であることを証明します。 $latex x$を$latex n$次元の多変量標準正規分布に従うとします。つまり、\begin{align*} x \sim N(0, I )\end{align*}とします。\begin{align*} Q \in...

この記事では線形回帰モデルにおいて全要素が1のベクトルがハット行列の不動点であることの証明をします。全要素が1のベクトルを\begin{align*} e = (1, 1, \ldots, 1 )^t \in \mathbb R^n\end{align*}で表記します。線形回帰モデルを\begin{align*} y = X...

この記事では指数分布の順序統計量の期待値の公式の導出をわかりやすく解説します。\begin{align*} X_1, X_2, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda), \text{i.i.d.}\end{align*}とします。$latex X_1, X_2, \ldots, X_n$を昇順にならべ、下から$latex i$番目の値...

この記事では残差平方和RSSの期待値の導出をわかりやすく解説します。まず最初に残差平方和がなんであったかを確認しておきます。線形回帰モデル\begin{align*} y = X \beta + \varepsilon\end{align*}を考えます。ただし$latex \varepsilon \sim N(0, \si...

この記事では確率ベクトルの2次形式の期待値の導出をわかりやすく証明します。ここで、$latex n$次確率ベクトルとは、確率変数$latex X_1, \ldots, X_n$を並べたベクトル\begin{align*} x = (X_1, X_2, \ldots, X_n) \end{align*}のことです。$latex (i,j)...

この記事では双線形形式をtraceによって表現するトリックを説明します。ただし、この記事内で$latex x, y \in \mathbb R^n$の$latex n$次正方行列$latex A \in M_n$による双線形形式というと、\begin{align*} x^t A y\end{align*}を指すこととします。 命...

この記事ではハット行列のトレースが回帰係数の数と一致することの証明を超簡単に解説します。ほぼ自明ですが。この事実は、残差平方和の期待値を求める上でクリティカルな役割を果たします。\begin{align*} y = \beta_0 + x_1 \beta_1 + \cdots + x_{p-1}...

この記事では「冪等行列ならばrankとtraceが一致すること」の証明をわかりやすく解説します。冪等行列を$latex A$で表記することにします。 行列のtraceは、固有値の総和に一致することを思い出しておきます。冪等行列$latex A$の固有値は、$latex 0, 1$の...

この記事では冪等行列Aに対して$latex \textrm{rank}(I-A)=\textrm{dim} \textrm{ker}A$であることを証明します。 まず$latex n$次正方行列$latex A$を冪等行列、つまり\begin{align*} A^2 = A\end{align*}を満たす行列とします。次の事実が成り立ちます。...

この記事では実対称な冪等行列の対角成分が0以上1以下であることを証明します。 最初に冪等行列の定義を確認しておきます。正方行列$latex A$は、\begin{align*} A^2 = A \end{align*}を満たすときに、冪等行列といいます。 命題： $latex A$を実対称な冪...

この記事では、標準的な条件下でスコア関数の期待値が0であることを証明します。 まず、スコア関数を定義します。確率変数$latex X$を、パラメータ$latex \theta$をもち、確率密度関数が$latex f_X(\cdot; \theta)$である確率変数とします。 スコア関数は...

アーラン分布の生存関数をポアソン分布から計算する方法を解説します。最初にアーラン分布を思い出しておきましょう。 定義:アーラン分布 正の整数$latex k$と正の実数$latex \mu$をパラメータとするアーラン分布とは、確率密度関数\begin{align*} f(x) = ...

この記事では条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説します。条件付き裾野期待値(Conditional Tail Expectation)と言っているのは、確率変数$latex X$に対して\begin{align*} E(X \mid X > x) \end{align*}この積分のことです。 文献によってはこ...

この記事ではハザード関数から生存関数を導出する方法を解説します。 命題：ハザード関数から生存関数を復元 $latex X$を確率変数、$latex h$を$latex X$のハザード関数、$latex S$を$latex X$の生存関数とする。このとき、\begin{align*}S(x) = e^{ - \in...

この記事では、指数分布の確率密度関数との積分をする時の部分積分公式を解説します。よくある状況を考えるために、$latex f(x) \in C^\infty$とし、$latex ^\exists{N} \in \mathbb N$\begin{align*} \frac{d^N}{dx^N}f(x) = 0 \end{align*}という状況を...

この記事では1/√(1+x^2)の積分の計算方法を解説します。つまり、\begin{align*} \int　\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx \end{align*}の計算方法を解説します。余談ですが、京都大学の女性募集枠特色入試の数学サンプル問題でこの積分が使える場面がありました...

この記事では2つのポアソン過程の一方が先にイベントを発生する確率を解説します。 命題：2つのポアソン過程の発生順序 $latex \{A_t \}_t, \{B_t \}_t$を2つの独立なポアソン過程とし、それぞれ強度(intensity)は$latex \lambda_a, \lambda_b$であるとし...

この記事では、指数分布の指数関数がパレート分布であること、つまり、パレート分布の対数変換が指数分布であることを解説します。 パレート分布がなんだったかを思い出しておきます。最小値パラメータ$latex x_m >0$、形状パラメータ$latex a$のパレート...

この記事ではパラメータがガンマ分布のポアソン混合分布が負の二項分布である証明をわかりやすく解説します。 まず初めに、ガンマ分布とポアソン分布について思い出しましょう。 パラメータ$latex \alpha , \beta$のガンマ分布$latex \Gamma(\alpha, \beta...

この記事では、標準正規分布をカイ二乗分布のルートで割るとt分布が導出できることをわかりやすく解説します。 定義：t分布 自由度$latex n$のt分布とは、確率密度関数が\begin{align*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{n \pi}} \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamm...

この記事では指数分布の和がアーラン分布であることを証明します。 まずはじめに、アーラン分布について思い出しておきます。 定義:アーラン分布 正の整数$latex k$と正の実数$latex \mu$をパラメータとするアーラン分布とは、確率密度関数\begin{align*} ...

この記事ではポートフォリオの標準偏差の重みに関する勾配を求めます。 $latex X_1, \ldots, X_n$を、標準偏差が$latex \sigma_1, \ldots, \sigma_n$である確率変数とします。$latex w_1, \ldots, w_n \in \mathbb (0,1)$を、\begin{align*} w_1 + \ldots ...

この記事では標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をします。 まず最初にカイ二乗分布の確率 定義: カイ二乗分布 自由度$latex k$のカイ二乗分布の確率密度関数は、\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{\left( \frac{1}{2}\r...

この記事では一様分布の分散の求め方を解説します。 命題: 一様分布の分散 確率変数$latex X$は一様分布$latex U(a, b)$に従うとします。このとき、\begin{align*} V(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \end{align*}が成り立ちます。 実際に計算してみましょう。 一...

この記事では二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説します。 命題: 二項分布の再生性 $latex X$をパラメータ$latex n, p$の二項分布$latex Bin(n, p)$に従う確率変数とし、$latex Y$をパラメータ$latex m, p$の二項分布$latex...

この記事では、二項分布の積率母関数(モーメント母関数)の求め方を解説します。 確率変数$latex X$の積率母関数とは、\begin{align*} M_{X}(t) = E(e^{tX}) \end{align*}により定義される関数のことでした。 結論から述べると、 命題: 二項分布の積率母関...

この記事では、正規分布が再生性をもつことの証明をします。 $latex X, Y$をそれぞれ独立な正規分布$latex N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)$に従うとします。つまり、\begin{align*} X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\quad Y \sim N(\mu_2, \sigm...

ポアソン分布の再生性、つまり独立なポアソン分布に従う確率変数の和もまたポアソン分布に従うことを証明します。 命題: ポアソン分布の再生性 $latex X \sim Po(\lambda_1), Y \sim Po(\lambda_2)$で、互いに独立であるとします。このとき、\begin{align*...

今回は、生存関数を用いて確率変数の期待値を求める方法について詳しく解説します。数学的な導出だけでなく、直感的な理解や具体的な例も交えて説明していきます。 定義 確率変数$latex X$に対して、\begin{align*} S(t) = P( t \leq X)\end{align*}を$lat...

指数分布は、連続確率分布の一種で、事象の発生間隔が独立かつ同一の確率で発生する場合に使用されます。この記事では、指数分布の中央値の求め方を解説します。 確率変数がパラメータが$latex \lambda$である指数分布に従うとは、確率密度関数が、\begin{...

確率変数の二乗の確率密度関数の求め方を簡単に解説します。 確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説 連続型の確率変数を想定しています。まず最初に、適当な確率変数$latex X$に対して、\begin{align*} f(x) = \partial_x F(x)\end{alig...

多項式カーネルの半正定値性と一次独立生の証明をわかりやすく解説します。

この記事では、離散一様分布の期待値と分散の導出をわかりやすく解説します。

小中高生向け数学の問題の中でも特に微妙なものの一つが、「次の数列の一般項を求めよ」という問題です。学生はしばしば、与えられた数列のパターンを見つけ、その一般項を導き出すよう求められます。しかし、この種の問題には答えが一意に定まらないという問題があります。

$latex \sum \frac{\sin nx}{n}$という級数が各点収束することを証明します。

n次正方行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは一次独立であることを証明します。

関手の忠実性と充満性とは、射の集合に制限した時に単射および全射となる関手のことである。

この記事では、sinやcosなどの三角関数のラプラス変換をわかりやすく解説します。

この記事では$latex \frac{1}{x^3 + 1}$の不定積分をわかりやすく解説します。

三角関数の微分や積分を学習している途中で、三角関数の積を積分するような練習問題に遭遇することがあります。この記事ではそのような積分の計算方法を具体例とともにわかりやすく解説します。

この記事では$latex xe^{x^2}$の微分とマクローリン展開をわかりやすく解説します。大学1年生の微積分の講義でしばしば扱われる関数であるので、暇な人は確認しておきましょう。

この記事では、$latex a \neq b$であるとき、2つの指数関数$latex e^{ax}, e^{bx}$が一次独立であることを証明します。これを理解するためには、まず一次独立の定義から始め、次に関数空間における一次独立の概念を説明し、最後に実際の証明を行います。

$latex e^x$や$latex e^{-x}$の積分を計算することは難しくないですが、$latex \frac{1}{e^x + 1}$の積分を計算するのは若干難しいのではないでしょうか。この記事では、この積分計算をわかりやすく解説します。

ポアソン分布はイベントの発生間隔が指数分布に従うと仮定したとき、一定の時間に発生するイベントの回数の分布を表現しています。この記事では、ポアソン分布の導出をわかりやすく解説します。

無記憶性を有する連続型確率分布に関する重要な事実として、無記憶性を持つ連続型確率分布が指数分布のみであることを解説する。

$latex (f(x))^x$の微分をどうやって計算するかを分かりやすく解説します。高校数学でこの微分を導出させられることは少ないでしょうが、大学生であれば1年生の微分積分の講義で扱うことは非常に多いでしょう。

行列のアダマール不等式は正方行列の行列式と列ベクトルの積の関係を与える不等式です。

写像が単射・全射・全単射であるとはどういうことかについて、具体例を交えてわかりやすく解説します。大学数学の初めの段階では、関数や写像といった基本的な概念を学びますが、特に、単射であるか全射であるかということは非常に重要ですので、必ずマスターしておきましょう。

ガンマ分布は、一定の発生確率をもつ独立なイベントが特定の回数発生するまでの待機時間が従う確率分布です。この分布は確率論や統計学における基本的なもので、その応用範囲は非常に広く、工学や経済学など多岐にわたります。この記事ではガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説します。

チェビシェフの不等式は、確率変数が特定の値から離れている確率を評価する不等式です。確率論や統計学における基本的かつ重要な不等式です。

加法的関数に連続性を仮定すれば、線形関数に限ることを証明します。

行列の積が結合則を満たすことの証明をわかりやすく解説。数学の基礎である線形代数のうち、行列の積の性質は非常に重要です。今回は行列の積の性質のうち、結合側を証明します。

整数全体は実数全体の部分位相空間として(相対位相をいれて)離散位相空間であることの証明をわかりやすく解説します。

二次形式の指数関数e^{ix^tAx}のフーリエ変換の証明をわかりやすく解説します。このタイプの関数のフーリエ変換は、停留位相(定常位相)の方法において基本的な役割を果たします。

Farkasの補題を証明します。これは線形計画問題や最適化問題で重要な補題で、凸解析の分離定理を用いて証明します。

フーリエ変換を2回行うことは、時間を反転させる作用に一致します。これは、フーリエ変換された関数に再びフーリエ変換を行うことと、フーリエ逆変換を行うことの間の関係をみることにより簡単にわかります。

ヤングの不等式は、非負実数の積を評価する不等式で、ヘルダーの不等式の証明に用いられることから有名です。証明は対数関数の凸性からイェンゼンの不等式を使って証明します。ヤングの不等式の等号成立条件についても証明します。

デルタ関数は超関数として定式化されますが、緩増加超関数であることが示せます。

この記事では、デルタ関数のフーリエ変換について説明します。

三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説します。

チェザロ平均（チェザロへいきん、英: Cesàro mean, Cesàro average）とは、数列の最初の有限個の項から作られる算術平均のことです。数列の平均・チェザロ平均の極限についての命題をイプシロン・デルタ論法を用いてわかりやすく解説します。

σ有限な測度の定義と性質と具体的な例について解説します。測度論の基礎を理解し、この重要な概念について深く知ることで、より高度な数学や関連分野への理解を深めることができるでしょう。さあ、測度論の世界へと一緒に足を踏み入れてみましょう。

微分演算子がエルミート演算子でない一方で、虚数単位$latex i$を掛けるとエルミート演算子に変わるという興味深い性質について解説します。この特性は数学だけでなく、量子力学の理解にも大きな影響を与えるため、科学や数学に興味がある方々にとって非常に重要な概念です。

自然対数(log x)を二乗する関数(logx)^2の微分・積分・計算方法について、わかりやすく解説します。

ヘヴィサイド関数の微分がデルタ関数であることの証明。特に信号処理や電磁気学において頻繁に遭遇する特殊な関数、ヘヴィサイド関数とデルタ関数についての理解を深めよう。

フーリエ変換の性質のうち、微分と掛け算が交換することを証明します。 時間領域の微分演算子と周波数領域の乗法演算子が交換可能ということが証明されます。これはフーリエ変換が微分方程式を代数方程式に変換する助けになり、微分方程式の解析を容易にします。

微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明です。

フルラニ積分(Frullani Integral)の証明 命題 $latex a, b >0$ とする。$latex \mathbb R \setminus 0 $ 上の実数値関数 $latex f$ は、微分可能かつ $latex \lim_{s \rightarrow \infty} f(s), \quad \lim_{s \rightarrow 0} f(s)$ が収束するならば、...

e^{-a|x|}のフーリエ変換を計算 採用しているフーリエ変換に応じて適当に定数倍してください。 1次元におけるフーリエ変換 $latex a > 0$ をパラメータとする$latex \mathbb R$ 上の関数 \begin{align*} a^{-a|x|} \end{align*} とする。（これをラプラ...

複素数値関数$latex \frac{1}{z}$が正則であることを証明してみましょう。

2階線型同次方程式、あるいは2階線型斉次方程式と呼ばれる微分方程式のうち、定数係数であるものの解き方について簡単に説明します。

外測度(outer measure)は、集合論や測度論における重要な概念で、ある意味で集合の「大きさ」をはかるものです。以下に、外測度の基本的な定義と性質を述べます。

有界な集合の同相写像による像は有界な集合でしょうか。結論を先に述べると、反例があります。このことは、集合論や位相空間理論で一般的に扱われる話題です。

全単射が閉写像であることと開写像であることは同値であることを示します。

次の無限級数の収束を考えます。 \begin{align*} \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2 - x} \end{align*} この無限級数が収束する$latex x$の範囲を求めることが目的です。 無限級数∑1/(n^2-x) が収束するようなxの範囲 事前準備 まず、次の公式を思い出して...

片側フーリエ変換の閉複素半平面への拡張について、一緒に探求してみましょう。さらに、その拡張がどのように振る舞うのか、そして零点がどのように分布するのかについても探求します。

$latex L^p$ノルムの対数凸性の証明をしてみましょう。

なぜ正則な行列が零因子でないのか、数学的に見ていきましょう。

$latex Ff(\xi)$の絶対値は、$latex f$の$latex L^1$ノルムに比例する定数で抑えられると言えます

測度が有限である場合、L^p空間とL^q空間の間には重要な関係が存在します。「測度が有限であればL^qならばL^p」というのは、測度が有限であるという条件のもとで、もし関数fがL^q空間に属しているならば、p ≤ q の場合、関数fは自動的にL^p空間にも属する、という意味です。これは、Holderの不等式と有限測度の性質から示されます。

L^pかつL^qならばL^rとなる条件、(p乗可積分とq乗可積分ならばr乗可積分である条件)を証明します。これは、解析学や測度論における重要な結果であり、関数の性質を理解する上で基本的なツールとなっています。

トマエ関数は有理数において不連続である一方、無理数では連続であるという特徴的な性質をもつ関数です。この関数の存在が引き起こす疑問は、ある意味で反対な疑問「有理数で連続で無理数で不連続な関数は存在するのか？」というものです。

実数値関数の不連続点は閉集合の可算和であることの証明をします。このことは、関数の連続性を深く理解する上でもしかすると重要です。

再生核ヒルベルト空間（Reproducing Kernel Hilbert Space、RKHS）は、数学や統計学、機械学習、特にサポートベクターマシンやカーネル法などの分野で広く活用されています。この空間は、特定の性質を持つ核を備えたヒルベルト空間であるという意味で、特別です。

f(x, y) = yg(x)が原点で微分可能なこととg(x)が原点で連続なことは同値であることの証明

この記事では、非正則な正方行列が零行列または零因子であることを証明します。まず、いくつかの基本的な定義を整理し、その後で証明に進みます。

本記事では、次元定理についての証明を紹介します。次元定理は数学の重要な定理の一つであり、線型写像の核と像の次元の関係を示しています。

定積分が定める関数の連続性について考えることは、関数の基本的な性質を理解する上で非常に重要なトピックです。この性質は、実解析における基本的な結果であり、微分積分学の理解にとっても鍵となります。

積のボレル集合体とボレル集合体の積は、確率論や測度論における重要な概念である。ここで、「積のボレル集合体」とは、ふたつの位相空間の直積上におけるボレル集合の族を意味し、「ボレル集合体の積」は、それぞれの空間のボレル集合体のある種の積として定義される。 これら二つの概念は、一般的には異なるが、特定の条件の下で一致する。それは、各位相空間が第二可算（second-countable）である場合である。

積率母関数は、確率変数のモーメントを生成するための便利なツールです。特に、正規分布の場合、積率母関数は解析的に計算することが可能です。

この記事では、積分の形で表示されているような複素関数の正則性について紹介します。

テイラーの定理のうち、剰余項が積分の形になっているものを紹介しようとおもいます。

$latex \mathbb R$ 上で定義された無限遠点で0に収束する連続関数が有界であるという命題の証明を初心者向けに解説します。

この記事では、$latex e^{-x}$や$latex e^{-x^2}$が急減少関数であるかどうかを検証してみます。