経済学– category –

この記事ではポートフォリオの標準偏差の重みに関する勾配を求めます。 $latex X_1, \ldots, X_n$を、標準偏差が$latex \sigma_1, \ldots, \sigma_n$である確率変数とします。$latex w_1, \ldots, w_n \in \mathbb (0,1)$を、\begin{align*} w_1 + \ldots ...

この記事では標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をします。 まず最初にカイ二乗分布の確率 定義: カイ二乗分布 自由度$latex k$のカイ二乗分布の確率密度関数は、\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{\left( \frac{1}{2}\r...

この記事では、事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額を計算します。 事故の発生件数が平均パラメータ$latex \lambda$のポアソン分布に従うとします。1件目の事故に対しては支払いはなく、2件目の事故から、1件あたり$latex L$円...

この記事では一様分布の分散の求め方を解説します。 命題: 一様分布の分散 確率変数$latex X$は一様分布$latex U(a, b)$に従うとします。このとき、\begin{align*} V(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \end{align*}が成り立ちます。 実際に計算してみましょう。 一...

この記事では二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説します。 命題: 二項分布の再生性 $latex X$をパラメータ$latex n, p$の二項分布$latex Bin(n, p)$に従う確率変数とし、$latex Y$をパラメータ$latex m, p$の二項分布$latex...

この記事では、二項分布の積率母関数(モーメント母関数)の求め方を解説します。 確率変数$latex X$の積率母関数とは、\begin{align*} M_{X}(t) = E(e^{tX}) \end{align*}により定義される関数のことでした。 結論から述べると、 命題: 二項分布の積率母関...

この記事では、正規分布が再生性をもつことの証明をします。 $latex X, Y$をそれぞれ独立な正規分布$latex N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)$に従うとします。つまり、\begin{align*} X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\quad Y \sim N(\mu_2, \sigm...

ポアソン分布の再生性、つまり独立なポアソン分布に従う確率変数の和もまたポアソン分布に従うことを証明します。 命題: ポアソン分布の再生性 $latex X \sim Po(\lambda_1), Y \sim Po(\lambda_2)$で、互いに独立であるとします。このとき、\begin{align*...

今回は、生存関数を用いて確率変数の期待値を求める方法について詳しく解説します。数学的な導出だけでなく、直感的な理解や具体的な例も交えて説明していきます。 定義 確率変数$latex X$に対して、\begin{align*} S(t) = P( t \leq X)\end{align*}を$lat...

統計学や確率論において、ポアソン分布はランダムな事象の発生をモデル化する際に非常に重要な確率分布です。特に、一定の時間や空間内での稀な事象の発生回数を扱う場合によく用いられます。 本記事では、ポアソン分布の最頻値（モード）の求め方について...

統計学や確率論において、二項分布は非常に重要な確率分布の一つです。これは、成功確率が一定の試行を複数回行ったときの成功回数を表す分布です。二項分布の特性を理解することは、データ分析や統計的推測を行う上で不可欠です。 本記事では、二項分布の...

投資やリスク管理の分野では、キャッシュフローのタイミングや金額の変動を考慮した評価が非常に重要です。特に、キャッシュフローが将来に繰り延べられる場合（Deferred Cash Flows）、その評価には特別な注意が必要です。本記事では、「Deferredキャッシ...

ビジネスや投資の世界では、キャッシュフローのパターンはさまざまです。その中でも、支払い金額が期間の経過とともに増加し、その後減少する「山型キャッシュフロー」は特異なパターンとして知られています。現実の世界で綺麗に山型キャッシュフローとな...

$latex L$円を$latex T$期間で元金均等返済で貸し出すことを考えます。各期の金利は$latex i$で、支払いは各期末に発生します。受け取った返済金は、その期末にすぐに各期の利率$latex j$で再投資するものとします。現在を$latex 1$期の始まりと仮定し、各...

乱数生成は統計やシミュレーションにおいて非常に重要な役割を果たします。特に、特定の確率分布に従う確率変数を生成することは、統計モデリングや金融工学など多くの分野で必要です。その一つの方法として「逆関数法」がよく使われます。今回は、この逆...

確率分布に従った乱数を生成する方法は多く存在しますが、複雑な分布では直接サンプリングが難しいことがあります。そんなときに役立つのが 棄却法（Rejection Sampling） です。この記事では、棄却法の原理と使い方について、わかりやすく解説します。 こ...

本記事では、年金現価と年金終価という2つの重要な概念を中心に、その逆数の差が金利に等しくなるという興味深い関係式について詳しく解説します。 まず、記号を導入します。各期の金利を$latex i$で表します。$latex n$期間、毎期末に1ずつ払う年金の現価...

金融計算や資産運用において、「年金終価」は重要な概念です。特に、支払いのタイミングによって「期始払い」と「期末払い」の2種類が存在し、それぞれの将来価値（終価）は異なります。本記事では、これら2つの年金終価の再帰的関係式を導出し、その背後...

元利均等返済とは、毎月の支払い額が一定で、元金と利息が混ざった形で返済していく方式です。毎月支払う額が固定されているので、計画的に返済がしやすいのが特徴です。 返済初期は、利息が大きく、元金返済が少ない。返済が進むにつれて、元金部分の返済...

ローンを組むとき、毎月支払う金額が一定になる元利金等返済はとても一般的です。この仕組みを理解することは、金融計画にも役立ちます。この記事では、この元利金等返済の公式を、できるだけ簡単に説明します。 元利均等返済は、毎月の返済額が一定になる...

毎期減少していく期末払い年金の現在価値を計算してみます。記号として、$latex n$期間の期末払い確定年金の現在価値を$latex a_n$で表記することにします。割引率を$latex v$で表すことにします。 命題 paymentが\begin{align*} n, n-1, n-2 , \ldots, 1 ...

パー債券とは、額面価格と同じ価格で発行される債券のことです。通常、債券にはクーポン（利息）が付いており、一定の期間ごとに投資家に支払われます。パー債券では、このクーポン率が市場利率と一致しているため、額面通りの価格で取引されます。 設定お...

限界代替率（MRS: Marginal Rate of Substitution）とは、経済学において消費者の選好を表現する重要な概念であり、特定の財の組み合わせにおいて、ある財を1単位追加で得るために、他の財をどれだけ犠牲にできるかを示します。

経済学におけるエッジワースボックスは、複数の個人が互いに利益を最大化するために財をどのように交換するかを考える上で、パレート最適な点を視覚的に表現するための便利な図です。

経済学において「弾力性」とは、ある変数（例えば価格や所得）が変動したときに、他の経済変数（例えば需要や供給）がどの程度応答するかを測る指標です。この概念は、市場の反応を理解し、価格設定や政策立案において重要な役割を果たします。

ソローモデルは、マクロ経済学における経済成長理論の一つで、1956年にロバート・ソローによって提唱されたものです。このモデルは、経済がどのように成長し、時間とともにどのように変化するかを理解するためのフレームワークを提供します。

日商簿記2級の試験は、その実践的な内容と多岐にわたる出題範囲から、多くの受験者にとって簡単とは言えません。しかし、効率的な勉強方法と適切な戦略を用いることで、短期間でも合格は十分に可能です。ここでは、独学でわずか100時間の学習で合格するための裏技を紹介します。

レバレッジ型ETFには「逓減（decay）」と呼ばれる現象が存在し、これは長期投資におけるリスク要因となります。逓減とは、オリジナルの指標ではレンジでもとの価格に戻ってきているのに、レバレッジ型ETFの価格はもとの価格よりも低くなってしまう現象のことを指しています。この記事では逓減が発生する理由や原因を数学的に解説します。

ケリー基準は、ある賭けの勝利確率、敗北時に失う金額、そして勝利した場合に得られる金額を基にして、その賭けに投じるべき資金の割合を計算します。この基準に従うことで、長期的に見て資金を効率的に増やすことができます。

金利平価（Interest Rate Parity, IRP）は、為替レートの動きを予測する上で重要な役割を果たします。カバー付き金利平価（Covered Interest Parity, CIP）とカバーなし金利平価（Uncovered Interest Parity, UIP）の主な違いは、為替リスクをヘッジするかどうかです。

本記事では海外投資の自国通貨建て予想収益率の近似式をわかりやすく解説します。

VaR(バリューアットリスク)はリスクマネジメントにおいて解釈が容易であることから多用されるリスク尺度ですが、整合的リスク尺度でないという観点からリスク尺度として不適当であるという指摘があります。本記事ではVaRが整合的リスク尺度でないことをわかりやすく解説します。

複数のランダムな出来事に直面した際に、最も好ましい選択をする意思決定の基準として、「確率優越」という考え方が役に立つことがあります。

最小二乗法は、実際のデータの値と予測値の誤差を最小化することによりモデルのパラメータを選ぶ方法のうちの一つです。この記事では最小二乗法の式を偏微分を用いて導出する方法をわかりやすく解説します。

学習曲線と経験曲線効果は、生産や作業の効率が経験や繰り返しによって向上する現象を数学的にモデル化したものです。この現象は、特に製造業において重要な意味を持ち、コスト削減や生産性向上の戦略を立てる上で役立ちます。

選好の単調性と凸性は、経済学における消費者の選好に関する概念の一つです。ここでの「選好」とは、消費者がある消費計画を他の消費計画よりも好むかどうか、またはその逆かを示すものを指します。

下方部分積率（Lower Partial Moment：LPM）は、投資のリスク評価に使用される統計的手法の一つです。特に、金融経済学やポートフォリオの最適化の文脈で使用されることがあります。

最小分散ポートフォリオは、実現可能なポートフォリオのうち、分散（あるいは標準偏差・リスク）が最小化する投資比率を設定したポートフォリオのことを指します。

移動平均過程（Moving Average Process MAモデル）の自己相関の計算や定常性について解説します。

2資産による投資機会集合(investment-opportunity-set)と効率的フロンティア(Efficient Frontier、有効フロンティア)を図を用いて解説します。ポートフォリオ理論の中心的な要素であり、投資を行う上での戦略決定において重要な役割を果たします。

ポートフォリオのリスク分散効果とは、ポートフォリオのリスクが、ポートフォリオを構成する資産のリスクの投資比率に応じた単なる加重平均よりも小さくなることです。

二つの確率変数に対して相関係数が必ず-1以上1以下の範囲であることの証明をわかりやすく解説します。

エクセルのソルバー機能を使用して線形計画問題を解く方法について説明します。線形計画問題は、限られたリソースを最適に配分し、行動を最適化するための強力なツールです。そして、エクセルのソルバー機能を使えば、これらの問題を簡単に解くことができます。

確実等価額（Certain Equivalent）とリスクディスカウント額（Risk Discount）は、投資や経済における重要な概念です。

望遠鏡和(Telescoping sum)あるいは望遠鏡公式(Telescoping formula)と呼ばれる方法で数列の和や級数の値を計算してみましょう。

ほとんど確実に右連続な修正は区別できないことの証明を行いたいと思います。これは確率論において非常に重要な問題で、これに取り組むことで深い洞察を得ることができます。

ほとんど確実な事象との共通部分は確率を変えないことを証明します。 このことは、確率論で非常に基本的な事実であるので、しっかりと押さえておきましょう。

積率母関数は、確率変数のモーメントを生成するための便利なツールです。特に、正規分布の場合、積率母関数は解析的に計算することが可能です。

統計学や確率論に慣れ親しんでいる方なら、正規分布について何度も聞いたことがあることでしょう。この記事では、対数正規分布の確率密度関数と期待値と分散を導出してみようと思います。

片側検定をする場合に帰無仮説と対立仮説が排反になっていないのではないかという疑問について考察しました。

経済学のゲーム理論でよくとりあげられる寄付金ゲームについて、最適な行動を考察してみましょう。

金融危機を受けて策定された国際的な銀行規制バーゼルIII規制とは？銀行が遵守すべきルールをわかりやすく解説。

利力の導出方法をわかりやすく解説！

ラスパイレス指数とパーシェ指数の使い分けについて解説します。経済学では、物価の変動や実質所得の変化を測るために、さまざまな価格指数が使われます。その中でも「ラスパイレス指数」と「パーシェ指数」は重要なものとして知られています。

「市場支配力」を理解するために、ラーナー指数やHH指数などの概念を知ろう！