推定量の一致性は「平均二乗誤差が収束するなら確率収束する」で確認した方が楽な時がある

推定量の一致性を確認するのは面倒くさいです。
そこで、平均二乗誤差が\(0\)に収束することで一致性を確かめることにしましょう。
よくある確認方法ですが、こっちの方が楽だったりします。

というのも、チェビシェフの不等式から
\begin{align*} E\left(| X – c| ^2 \right) \geq k^2 P(|X – c| > k) \end{align*}
なので、パラメータ\(\theta\)の推定量の族を\(\{ \theta_n \}_n \)とすると、
\begin{align*} E\left(| \theta_n – \theta| ^2 \right) \geq \varepsilon^2 P(|\theta- c| > \varepsilon)\end{align*}
だからです。
左辺は平均二乗誤差です。

チェビシェフの不等式については下記の記事に書いてます。

あわせて読みたい

チェビシェフの不等式の証明をわかりやすく解説 チェビシェフの不等式は、確率変数が特定の値から離れている確率を評価する不等式です。確率論や統計学における基本的かつ重要な不等式です。