補対数対数リンク関数の逆関数の導出

この記事では補対数対数リンク関数の逆関数を求めます。

対数を2回書いているのは誤植ではないです。
complementary log-log link functionです。

\begin{align} g(x) = \log{\left(-\log(1-x) \right)}\end{align}
により定義されます。
\begin{align} \xi =\log{\left(-\log(1-x) \right)} \end{align}
とすると、
\begin{align} e^{\xi} = -\log(1-x) \end{align}
となるので、
\begin{align} – e^{\xi} = \log(1-x)\end{align}
なので、
\begin{align} e^{-e^{\xi}} = 1 – x\end{align}
となるので、
\begin{align} x = 1 – e^{-e^{\xi}} \end{align}
となります。
従って、\(g\)の逆関数を\(f\)と表記すると、
\begin{align} f(\xi) = 1 – e^{-e^{\xi}} \end{align}
となります。

cloglogリンクの逆リンクが0以上1以下であることの証明

また、任意の\(\xi \in \mathbb R\)に対して
\begin{align} 0 \leq f(\xi) \leq 1 \end{align}
であることがわかります。
と、いうのも、
\begin{align} 0 \leq e^{\xi }\end{align}
なので、
\begin{align} -e^{\xi} \leq 0 \end{align}
でして、ということは、
\begin{align} 0 \leq e^{-e^{\xi} } \leq 1\end{align}
なので、
\begin{align} 0 \leq 1 – e^{-e^{\xi} } \leq 1\end{align}
ということになります。