条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説！！！

この記事では条件付き裾野期待値の計算方法をわかりやすく解説します。
条件付き裾野期待値(Conditional Tail Expectation)と言っているのは、確率変数\(X\)に対して
\begin{align*} E(X \mid X > x) \end{align*}
この積分のことです。

文献によってはこの期待値のことを、\(x\)を閾値とする期待ショートフォールと呼んでいたりもします。

結論を先にかくと、\(F\)を\(X\)の累積分布関数とすると、

条件付き期待値の定義から
\begin{align*} E(X \mid X > x) = \frac{E(X 1_{[X > x]} )}{P(X > x)}\end{align*}
とかけます。

最初に分子に着目しましょう。定義から、
\begin{align*}E(X 1_{[X > x]}) = \int_x^\infty \xi f(\xi) d\xi \end{align*}
です。
\begin{align*} \int_x^\infty \xi f(\xi) d\xi \end{align*}
を計算すればいいんですが、素朴にやろうとすると詰みます。天下り的ですが、
\begin{align*} \int_x^\infty \xi f(\xi) d\xi = \int_x^\infty (\xi – x + x) f(\xi) d\xi \end{align*}
と変形することにします(必ずしもこの分解は必要ないのですが、結局あとで楽になるのでこうします)。
\begin{align*} \int_x^\infty (\xi – x + x) f(\xi) d\xi = \int_x^\infty (\xi – x) f(\xi) d\xi + \int_x^\infty x f(\xi) d\xi \end{align*}
で、右辺の2nd termは
\begin{align*}\int_x^\infty x f(\xi) d\xi = x (1 – F(x)) \end{align*}
なので、1st termである\(\int_x^\infty (\xi – x) f(\xi) d\xi \)を計算しにいきます。
\begin{align*} \int_x^\infty (\xi – x) f(\xi) d\xi = \int_x^\infty \left( \int_x^\xi 1 d \eta\right) f(\xi) d\xi \end{align*}
と変形します。
\begin{align*} D = \{(\xi, \eta) \in \mathbb R^2 \mid \xi < \eta < x, \,\, x < \xi < \infty \} \end{align*}
と表記することにすると、重積分に直して
\begin{align*} \int_x^\infty \left( \int_x^\xi 1 d \eta\right) f(\xi) d\xi= \int_D f(\xi) d\eta d\xi \end{align*}
となります。ここで、最初は逐次積分を\(\eta \rightarrow \xi\)でやっていたのですが積分を\(\xi \rightarrow \eta\)の順番で実施することにします。積分領域が、\((\xi, \eta)\)平面の、\((x,x)\)より右上の部分のうち、\(\xi = \eta\)という45度線の上側であることに注意すると、
\begin{align*} \int_D f(\xi) d\eta d\xi = \int_x^\infty \left( \int_\eta^\infty f(\xi) d\xi \right) d\eta \end{align*}
となることがわかる(素敵)。
\begin{align*}\int_x^\infty \left( 1 – F(\eta) \right) d\eta \end{align*}
となります。

つまり、
\begin{align*}\int_x^\infty \xi f(\xi) d\xi = \int_x^\infty \left( 1 – F(\eta) \right) d\eta + x (1 – F(x)) \end{align*}
であるので、
\begin{align*} E(X \mid X > x) &= \frac{E(X 1_{[X > x]} )}{P(X > x)} \\&= \frac{\int_x^\infty \left( 1 – F(\eta) \right) d\eta + x (1 – F(x))}{1 – F(x)} \\&= x + \frac{\int_x^\infty \left( 1 – F(\eta) \right) d\eta}{1 – F(x)}\end{align*}
となります。

おまけですが、生存関数で書き直すと、
\begin{align*} E(X \mid X > x) = x + \frac{\int_x^\infty S(\eta) d\eta}{S(x)}\end{align*}
となります。