この記事では、略算平均余命(Curtate Life Expectancy)が生存確率の総和と一致することを証明します。
記号の準備をします。
\(x\)歳の人の人口を、
\begin{align*} l_x\end{align*}
という記号で表記します。
\(x\)歳の人が\(k\)年生きる確率を、
\begin{align*} {}_k p_{x} = \frac{l_{x+k}}{l_x}\end{align*}
という記号で表記します。
\(x\)歳の人が、\(x + t\)年目に死亡する確率を、
\begin{align*} {}_{t\mid}q_x = \frac{l_{x + k } \,-\, l_{x + k -1} }{l_x} \end{align*}
という記号で表記します。
\(x\)歳の人の離散的な期待余命を次で定めます。
\begin{align*} e_{x} = \sum_{k=1}^\infty k {}_{t\mid}q_x\end{align*}
\begin{align*} e_{x} = \sum_{k = 1}^\infty {}_{k}p_x \end{align*}
が成り立ちます。
このことは、実際簡単に確かめることができます。
\begin{align*} e_{x} &= \sum_{k=1}^\infty k {}_{t\mid}q_x
\\&= \sum_{k=1}^\infty k \left( \frac{l_{x + k } \,-\, l_{x + k -1} }{l_x}\right)
\\&= \sum_{k=1}^\infty k \left( {}_{k} p_{x} \,-\, {}_{k+1} p_{x} \right)
\\&=\left( {}_{1} p_{x} \,-\, {}_{1+1} p_{x} \right) + 2\left({}_{2} p_{x} \,-\, {}_{2+1} p_{x} \right) + 3\left({}_{3} p_{x} \,-\, {}_{3+1} p_{x} \right) + \cdots
\\&={}_{1} p_{x} + {}_{2} p_{x} + {}_{3} p_{x} + \cdots
\\&= \sum_{k = 1}^\infty {}_{k}p_x \end{align*}
でるので、確認が終了しました。tail probabilityのトリックと同じです。
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