この記事では指数分布の順序統計量の期待値の公式の導出をわかりやすく解説します。
\begin{align*} X_1, X_2, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda), \text{i.i.d.}\end{align*}
とします。\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)を昇順にならべ、下から\(i\)番目の値を\(X_{(i)}\)と表記することにします。次の命題が成り立ちます。
\begin{align*} X_1, X_2, \ldots, X_n \sim Exp(\lambda), \text{i.i.d.}\end{align*}
とし、\(X_1, X_2, \ldots, X_n\)を昇順にならべ、下から\(i\)番目の値を\(X_{(i)}\)と表記することにします。このとき、
\begin{align*} E(X_{(k)}) = \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{(n-i+1)\lambda} \end{align*}
となります。また、\(j = n-i+1\)と表記すると、
\begin{align*} \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{(n-i+1)\lambda} = \sum_{j={n-k+1} }^{n} \frac{1}{(j)\lambda} \end{align*}
なので、
\begin{align*} E(X_{(k)}) = \sum_{j={n-k+1} }^{n} \frac{1}{(j)\lambda} \end{align*}
でもあります。
\begin{align*} Y_k = X_{(k)} – X_{(k-1)} \end{align*}
と表記することにします。ただし\(Y_1 = X_{(1)}\)とします。
\(Y_k\)は、寿命が指数分布に従う機械が\(n\)個あり、\(k-1\)個壊れた時から\(k\)個目が壊れるまでの時間なので、寿命が指数分布に従う機械が\(n-(k-1)\)個あり、最初の1個が壊れるまでの時間と同じなので、
\(Y_k\)の確率密度関数を\(f_{Y_k}\)と表記することにすると、
\begin{align*} f_{Y_k}(y) = _{n-(k-1)}C_1 \lambda e^{-\lambda y} e^{-(n-(k-1)-1)\lambda y } = (n-(k-1)) \lambda e^{-(n-(k-1))\lambda y}\end{align*}
となるので、
\begin{align*} Y_k \sim Exp((n-k+1)\lambda )\end{align*}
であることがわかります。
\begin{align*} X_{(k)} = \sum_{i=1}^{k} Y_i \end{align*}
であるので、
\begin{align*} E(X_{(k)}) = E\left(\sum_{i=1}^{k} Y_i \right) =E\sum_{i=1}^{k}\left( Y_i \right) = \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{(n-i+1)\lambda} \end{align*}
となります。
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