(f(x))^xの微分の導出をわかりやすく解説

今回の記事では、\((f(x))^x\)の微分をどうやって計算するかを分かりやすく解説します。高校数学でこの微分を導出させられることは少ないでしょうが、大学生であれば1年生の微分積分の講義で扱うことは非常に多いでしょう。

(f(x))^xの微分の導出をわかりやすく解説

まずは復習として、\(a^x\)の微分の計算方法を復習しておきましょう。
\begin{align*} g(x) = a^x\end{align*}
と表記することにしましょう。最初にまず対数を取ります
\begin{align*} \log g(x) = x \log a\end{align*}
そして両辺を微分しましょう。\(\log g(x)\)の微分が\(\frac{g^\prime (x) }{g(x)}\)であったことを思い出すと、
\begin{align*} \frac{g^\prime (x) }{g(x) } = \log a \end{align*}
両辺に\(f(x)\)をかけると,
\begin{align*} g^\prime(x) = g(x) \log a = a^x \log a \end{align*}
というふうに求めることができます。

この計算手順を参考に\(f(x)^x \)の微分を計算してみましょう。

\begin{align*} g(x) = (f(x)) ^ x \end{align*}
と表記することにします。対数をとると、
\begin{align*} \log g(x) = x \log f(x) \end{align*}
となるので、両辺を微分すると、
\begin{align*} \frac{g^\prime(x) }{g(x) } = \log f(x) + x \frac{f^\prime(x) }{f(x) } \end{align*}
となります。つまり、
\begin{align*} g^\prime (x) = f(x)^x \left( \log f(x) + x \frac{f^\prime(x) }{f(x) } \right)\end{align*}

結論をまとめると、

となります。