この記事では実対称な冪等行列の対角成分が0以上1以下であることを証明します。
最初に冪等行列の定義を確認しておきます。正方行列\(A\)は、
\begin{align*} A^2 = A \end{align*}
を満たすときに、冪等行列といいます。
\(A\)を実対称な冪等行列(\(n\)次)とする。任意の\(i = 1, \ldots , n\)に対して、
\begin{align*}0 \leq a_{ii} \leq 1\end{align*}
である。
このことを実際に確かめてみましょう。
\begin{align*} A^2 = A \end{align*}
より、
\begin{align*} \sum_{j = 1}^n a_{ij} a_{ji} = a_{ii} \end{align*}
です。対称性から\(a_{ij} = a_{ji}\)であるので、
\begin{align*} \sum_{j = 1}^n a_{ij}^2 = a_{ii} \end{align*}
です。添え字\(i\)とそれ以外に切り分けることで、
\begin{align*} a_{ii}^2 + \sum_{j \neq i} a_{ij}^2 = a_{ii} \end{align*}
であり、\(\sum_{j \neq i} a_{ij}^2 \geq 0\)であることから、
\begin{align*} a_{ii}^2 \leq a_{ii} \end{align*}
であるので、
\begin{align*} a_{ii} (a_{ii} – 1) \leq 0 \end{align*}
となり、
\begin{align*}0 \leq a_{ii} \leq 1\end{align*}
であることがわかりました。
レイリー商を用いた証明
正方行列\(A\)の\(x \in \mathbb R^n \setminus 0\)によるレイリー商\(R(A; x)とは、
\begin{align*}R(A; x) = \frac{x^t A x}{x^t x} \end{align*}
でした。
よく知られる事実として、レイリー商は\)latex A$の最小固有値以上、最大固有値以下です。
冪等行列は\(A^2 = A\)なので、
\begin{align*} A x = \lambda x, \,\, x \neq 0 $なら、$\lambda^2 x = A^2 x = \lambda x, \,\, x \neq 0 \end{align*}
より、\(\lambda^2 = \lambda\)なので、\(\lambda (\lambda – 1) = 0\)なので、\(\lambda = 0,\, 1\)
となる。つまり、レイリー商は\(0\)以上\(1\)以下。
ですので、\(i\)番目だけ1でそれ以外0のベクトル\(e_i = (0, 0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0) \in \mathbb R^n\)を持ってくると、対角成分\(a_{ii}\)は
\begin{align*} a_{ii} = \frac{e_i^t A e_i}{e_i^t e_i} \end{align*}
と表すことができます。
ですので、
\begin{align*} 0 \leq \frac{e_i^t A e_i}{e_i^t e_i} \leq 1\end{align*}
より、
\begin{align*} 0 \leq a_{ii} \leq 1\end{align*}
であることがわかります。
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