忠実関手と充満関手の定義をわかりやすく解説

2023年11月13日

関手の忠実性と充満性とは、射の集合に制限した時に単射および全射となる関手のことである。

忠実関手と充満関手の定義をわかりやすく解説

忠実性と充満性の定義を確認する前に、局所的に小さい圏の定義を確認しておきましょう。
\(\mathcal C\)を圏とするとき、\(\textrm{Ob}\mathcal C\)で対象を表し、
\(x, y \in \textrm{Ob}\mathcal C\)に対して、\(\textrm{Hom}(x, y)\)で\(x\)から\(y\)への射全体を表すことにします。

定義: 局所的に小さい圏

圏\(\mathcal C\)は、任意の\(x, y \in \textrm{Ob} \mathcal C\)に対して、
\begin{align*} \textrm{Hom}(x, y) \end{align*}
が集合であるときに、\(\mathcal C\)は局所的に小さい圏であるという。

それでは、忠実性と充満性の定義を確認しましょう。

定義: 忠実性と充満性

\(\mathcal C, \mathcal D\)を局所的に小さい圏とし、\(F: \mathcal C \rightarrow \mathcal D\)を関手とする。

任意の\(x, y \in \textrm{Ob}\mathcal C\)に対して、
\begin{align*} F: \textrm{Hom}(x, y) \rightarrow \textrm{Hom}(Fx, Fy) \end{align*}
が単射であるとき、忠実(faithfull)であるという。また、全射であるとき、充満(full)であるという。