忠実関手と充満関手の定義をわかりやすく解説

2023年11月13日

関手の忠実性と充満性とは、射の集合に制限した時に単射および全射となる関手のことである。

忠実性と充満性の定義を確認する前に、局所的に小さい圏の定義を確認しておきましょう。
$C$ を圏とするとき、 $Ob C$ で対象を表し、
$x, y \in Ob C$ に対して、 $Hom (x, y)$ で $x$ から $y$ への射全体を表すことにします。

定義: 局所的に小さい圏

圏 $C$ は、任意の $x, y \in Ob C$ に対して、
$\begin{array}{r} Hom (x, y) \end{array}$
が集合であるときに、 $C$ は局所的に小さい圏であるという。

それでは、忠実性と充満性の定義を確認しましょう。

定義: 忠実性と充満性

$C, D$ を局所的に小さい圏とし、 $F : C \to D$ を関手とする。

任意の $x, y \in Ob C$ に対して、
$\begin{array}{r} F : Hom (x, y) \to Hom (F x, F y) \end{array}$
が単射であるとき、忠実(faithfull)であるという。また、全射であるとき、充満(full)であるという。

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