この記事では、フランチャイズ価値モデル（Franchise Value Model）の導出をします。フランチャイズ価値モデルは、成長機会現在価値（PVGO: Present Value of Growth Opportunities）モデルともいいます。
まず、基本的な仮定として、将来にわたり企業の自己資本利益率\(ROE\)(Return on Equity)が一定かつ外部資金調達がないとします。株式の本源的価値を\(V\)（Intrinsic Value of Equity）で表記します。
株主資本コストを\(k\)（Cost of Equity）で表し、サステナブル成長率(Sustainable Growth Rate）を\(g\)で表記することにします。
1年後の予想配当を\(D\)（Expected Dividend in One Year）とします。また、期初の純資産を\(B\)（Book Value of Equity at the Beginning of the Period）で表記します。
フランチャイズ価値モデルとは、
\begin{align*} V = \frac{ROE}{k} B + \frac{ROE – k}{k} \frac{g}{k-g} B\end{align*}
というモデルでした。
定率成長配当割引モデルから、本源的価値\(V\)は、
\begin{align*} V = \frac{D}{k-g} \end{align*}
であったことを思い出します。\(D\)は純利益から内部留保を除いたものなので、
\begin{align*} V = \frac{D}{k-g} = \frac{(ROE – g)B}{k-g} \end{align*}
と変形できます。
\begin{align*} \frac{(ROE – g)}{k-g} \end{align*}
の部分のみに一旦着目します。
\begin{align*} \frac{(ROE – g)}{k-g} &= \frac{k(ROE – g)}{k(k-g)}
\\& =\frac{kROE – kg)}{k(k-g)}
\\&= \frac{kROE – ROEg + ROEg- kg)}{k(k-g)}
\\&= \frac{ROE (k-g) + (ROE – k)g}{k (k-g)}
\\&= \frac{ROE (k-g) }{k (k-g)} + \frac{ (ROE – k)g}{k (k-g)}
\\&= \frac{ROE}{k} + \frac{ROE – k}{k} \frac{g}{k-g} \end{align*}
となるので、
\begin{align*}V = \frac{ROE}{k} B + \frac{ROE – k}{k} \frac{g}{k-g} B \end{align*}
が示せました。
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