順序統計量の最大値と最小値の累積分布関数の導出をわかりやすく解説！！

2025年2月23日

この記事では順序統計量の最大値と最小値の分布関数は簡単に求められることを解説します。

まず順序統計量の最大値と最小値というのは、
確率変数
\begin{align*} X_1, \ldots, X_n \end{align*}
があった時に、それぞれ
\begin{align*} X_{(n)} = \max \{X_1, \ldots, X_n\}, \quad X_{(1)} = \min \{X_1, \ldots, X_n\} \end{align*}
により定義される確率変数です。

順序統計量の確率密度関数の公式ばかりを覚えていると、
確率密度関数を求めてから、積分して導出しようとしてしまうのですが、その必要はないです。

\(X_1, \ldots, X_n\)が独立同分布に従う場合を考えましょう。累積分布関数を\(F_X\)と表記することにします。
\(X_{(n)} , X_{(1)}\)の累積分布関数をそれぞれ
\begin{align*} F_{(n)}, F_{(1)} \end{align*}
と表記することにします。
すると、
\begin{align*} F_{(n)}(x) &= P(\max \{X_1, \ldots, X_n\} \leq x) \\& = P(X_1 \leq x, X_2 \leq x, \ldots, X_n \leq x) \\&= P(X_1 \leq x) P(X_2 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) \\&= F_X(x)F_X(x)\cdots F_X(x) \\&= \left(F_X(x) \right)^n \end{align*}
であることがわかります。

また、\(X_1, \ldots, X_n\)の生存関数を\(S_X\)と書くことにします（生存関数は\(S(x) = 1 – F_X (x)\)で定義されます）。\(X_{(1)}\)の生存関数を\(S_{(1)}\)と表記することにします。
\begin{align*} = S_{(1)}(x) &= P(x \leq \min \{X_1, \ldots, X_n\} ) \\&= P(x \leq X_1, x \leq X_2, \ldots, x \leq X_n) \\&= P(x \leq X_1) P(x \leq X_2) \cdots P(x \leq X_n) \\&= S_X(x)S_X(x)\cdots S_X(x) \\&= \left(S_X(x) \right)^n \end{align*}
となるので、
\begin{align*} F_{(1)} = 1 – S_{(1)} = 1 – \left( 1 – F_X (x) \right)^n \end{align*}
と求めることができます。

まとめると、

命題：順序統計量(最大値)の累積分布関数

\(X_1, \ldots, X_n\)を独立で同分布に従う確率変数とし、累積分布関数を\(F_X\)とすると、
\begin{align*} \max \{X_1, \ldots, X_n\} \end{align*}
の累積分布関数は
\begin{align*}\left(F_X(x) \right)^n \end{align*}
である。
また、
\begin{align*} \min \{X_1, \ldots, X_n\} \end{align*}
の累積分布関数は、
\begin{align*} 1 – \left( 1 – F_X (x) \right)^n \end{align*}
です。