有界な集合の同相写像による像は有界な集合でしょうか。結論を先に述べると、反例があります。このことは、集合論や位相空間理論で一般的に扱われる話題です。
有界な集合の同相写像による像で有界でない集合の例
始域を
という写像を考えてみましょう。
単調増大であることを確認する
という写像は
となり、右辺は
像が実数全体であることを確認する
という極限を考えることで、
結論
従って、
明らかに
有界な集合の同相写像による像は有界な集合でしょうか。結論を先に述べると、反例があります。このことは、集合論や位相空間理論で一般的に扱われる話題です。
始域を
という写像を考えてみましょう。
という写像は
となり、右辺は
という極限を考えることで、
従って、
明らかに
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