有界な集合の同相写像による像で有界でない集合の例

有界な集合の同相写像による像は有界な集合でしょうか。結論を先に述べると、反例があります。このことは、集合論や位相空間理論で一般的に扱われる話題です。

有界な集合の同相写像による像で有界でない集合の例

始域を$(-1,1)$として

$$\begin{array}{r}\log \frac{1+x}{1–x}\end{array}$$

という写像を考えてみましょう。

単調増大であることを確認する

$$\begin{array}{r}\log \frac{1+x}{1–x}\end{array}$$

という写像は$(-1,1)$ の範囲で単調増大であることを確認してみましょう。

$$\begin{array}{r}\frac{d}{dx}\log \frac{1+x}{1–x}=\frac{2}{(1+x)(1–x)}\end{array}$$

となり、右辺は$(-1,1)$ 上で正であるので、真に単調増大です。

像が実数全体であることを確認する

$$\begin{array}{r}x\to \pm 1\end{array}$$

という極限を考えることで、$\log \frac{1+x}{1–x}$ の像が$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ であることを確認できます。

結論

従って、$\log \frac{1+x}{1–x}$ は$(-1,1)$ から$\mathbb{R}$ への同相写像なのですが、

明らかに$(-1,1)$ は有界である一方で、$\mathbb{R}$は非有界です。

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