有界な集合の同相写像による像で有界でない集合の例

有界な集合の同相写像による像は有界な集合でしょうか。結論を先に述べると、反例があります。このことは、集合論や位相空間理論で一般的に扱われる話題です。

有界な集合の同相写像による像で有界でない集合の例

始域を(1,1)として

log1+x1x

という写像を考えてみましょう。

単調増大であることを確認する

log1+x1x

という写像は(1,1) の範囲で単調増大であることを確認してみましょう。

ddxlog1+x1x=2(1+x)(1x)

となり、右辺は(1,1) 上で正であるので、真に単調増大です。

像が実数全体であることを確認する

x±1

という極限を考えることで、log1+x1x の像が(,) であることを確認できます。

結論

従って、log1+x1x(1,1) からR への同相写像なのですが、

明らかに(1,1) は有界である一方で、Rは非有界です。

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