事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額の計算方法

この記事では、事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額を計算します。

事故の発生件数が平均パラメータ$\lambda$のポアソン分布に従うとします。
1件目の事故に対しては支払いはなく、2件目の事故から、1件あたり$L$円支払われるとします。
例えば、事故の総数が1件であれば、保険金は$0$円です。
また、例えば事故が4件であれば、$3L$円支払われます。

発生件数はポアソン分布に従うので、発生件数を確率変数$N$で表すと、
$$\begin{array}{r}N\sim Po(\lambda )\end{array}$$
です。

支払われる保険金は、
$$\begin{array}{r}max\{N–1,0\}\cdot L\end{array}$$
です。

$$\begin{array}{r}E(max\{N–1,0\}\cdot L)\end{array}$$
を求めてみましょう。

$$\begin{array}{r}E(max\{N–1,0\}\cdot L)=LE(max\{N–1,0\})\end{array}$$
なので、結局のところ、
$$\begin{array}{r}E(max\{N–1,0\})\end{array}$$
を求めればよいです。

$$\begin{array}{rl}& E(maxN–1,0)\\ & =0\cdot P(N=0)+0\cdot P(N=1)+1\cdot P(N=2)+2\cdot P(N=3)+\cdots \\ & =\sum _{k=1^{\mathrm{\infty }}}(k-1)P(N=k)\\ & =\sum _{k=1^{\mathrm{\infty }}}kP(N=k)–\sum _{k=1^{\mathrm{\infty }}}P(N=k)\\ & =\sum _{k=1^{\mathrm{\infty }}}kP(N=k)–(1–P(N=0))\\ & =\lambda –\left(1–e^{-\lambda }\right)\end{array}$$
となります。
ただし、
$$\begin{array}{r}\sum _{k=1^{\mathrm{\infty }}}kP(N=k)=E(N)=\lambda \end{array}$$
であることを最後に用いています。
従って、
$$\begin{array}{r}E(max\{N–1,0\})=\left(\lambda –\left(1–e^{-\lambda }\right)\right)\end{array}$$
なので

おまけ：保険の合成としてみなす方法

また、この支払いパターンは、
事故の発生件数が平均パラメータ$\lambda$のポアソン分布に従うとし、
事故1件目から、1件あたり$L$円支払われる保険から、
確率$e^{-\lambda }$で支払い$0$円、$1–e^{-\lambda }$で支払い$L$円
というベルヌーイ分布(を$L$倍)に従う保険を引いた保険としてみなすことができます。

事故の発生件数が平均パラメータ$\lambda$のポアソン分布に従うとし、事故1件目から、1件あたり$1$円支払われる保険の支払額を
$$\begin{array}{r}S\end{array}$$
そして、事故の発生件数が平均パラメータ$\lambda$のポアソン分布に従うとし、事故1件目から、1件あたり$latex 1円支払われる保険の支払額を
$$\begin{array}{r}T\end{array}$$
とすると、
求めたい保険の支払額は、
$$\begin{array}{r}(S–T)\cdot L\end{array}$$
となります。
つまり、期待支払額を求めるにはとりあえず
$$\begin{array}{r}E(S–T)\end{array}$$
を求めれば良いことがわかります。
$$\begin{array}{r}E(S–T)=E(S)–E(T)\end{array}$$
であり、
$$\begin{array}{r}E(S)=2,E(T)=1–e^{-2}\end{array}$$
なので、
$$\begin{array}{r}E((S–T)\cdot L)=L(2–(1–e^{-2}))\end{array}$$
であることがわかります。

この考え方を応用すると、$n$件目まで控除があるケースも、
基本となる保険から、ベルヌーイ分布に従う保険$n$個を引いたものとしてとらえることで、期待支払額を考えることができます。