1/(x^3+1)の不定積分をわかりやすく解説

この記事では\(\frac{1}{x^3 + 1}\)の不定積分をわかりやすく解説します。

\(\frac{1}{x^3 + 1}\)の不定積分をわかりやすく解説

解き方:

分母に3乗が入った積分についてはよくわかりませんが、2乗が入った積分であればよく知っています。
そこで、\(\frac{1}{x^3 + 1}\)を部分分数分解することで、2乗以下の積分に帰着させます。

\begin{align*} x^3 + 1 = (x + 1)(x ^2 – x + 1) \end{align*}
ですので、
\begin{align*} \frac{1}{x^3 + 1} = \frac{a}{x + 1} + \frac{bx + c}{x^2 – x + 1} \end{align*}
と部分分数分解することにします。
\begin{align*} \frac{a}{x + 1} + \frac{bx + c}{x^2 – x + 1} = \frac{a x^ 2 – ax + a + b x ^2 + c x + bx + c}{(x + 1)(x ^2 – x + 1)}\end{align*}
であることから、
\begin{align*} a + b = 0, -a + b + c = 0, a + c = 1\end{align*}
です。これを解くことで、
\begin{align*} a = \frac{1}{3}, \quad b = – \frac{1}{3}, \quad c = \frac{2}{3}\end{align*}
であることがわかります。つまり、
\begin{align*} \frac{1}{x^3 + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{x + 1} + \frac{ – \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{x^2 – x + 1} \end{align*}
と部分分数分解することができます。

\begin{align*} \int \frac{f^\prime (x) }{f(x) }dx = \log f(x)\end{align*}
であったことを思い出しておきます。

\begin{align*} \int \frac{1}{x^3 + 1} dx &= \int \frac{\frac{1}{3}}{x + 1} + \frac{ – \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{x^2 – x + 1} dx
\\& = \int \frac{\frac{1}{3}}{x + 1} + \frac{ – \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}}{x^2 – x + 1} + \frac{ \frac{1}{2} }{x^2 – x + 1} dx
\\&= \frac{1}{3}\log(x + 1 ) – \frac{1}{6}\log(x ^2 – x + 1) + \frac{1}{2} \int \frac{ 1 }{(x – \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}dx
\\&= \frac{1}{3}\log(x + 1 ) – \frac{1}{6}\log(x ^2 – x + 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \int \frac{ 1 }{(\frac{2}{\sqrt 3} x – \frac{2}{\sqrt 3} \cdot \frac{1}{2})^2 + 1}dx
\\&= \frac{1}{3}\log(x + 1 ) – \frac{1}{6}\log(x ^2 – x + 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \int \frac{ 1 }{ (\frac{2x – 1}{\sqrt 3})^2 + 1}dx
\\&= \frac{1}{3}\log(x + 1 ) – \frac{1}{6}\log(x ^2 – x + 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt 3}{2}\int \frac{ 1 }{ y^2 + 1}dy \quad (y = \frac{2x – 1}{\sqrt 3})
\\&= \frac{1}{3}\log(x + 1 ) – \frac{1}{6}\log(x ^2 – x + 1) + \frac{\sqrt 3 }{3 } \tan ^{-1} y
\\&= \frac{1}{3}\log(x + 1 ) – \frac{1}{6}\log(x ^2 – x + 1) + \frac{\sqrt 3 }{3 } \tan ^{-1} \frac{2x – 1}{\sqrt 3} \end{align*}
と計算することができます。