この記事では、sinやcosなどの三角関数のラプラス変換をわかりやすく解説します。
三角関数のラプラス変換をわかりやすく解説！！
\(\sin x, \quad \cos x\)のラプラス変換を計算する前に、まずラプラス変換の定義を確認しておきましょう。
\(s \in \mathbb C\)とする。関数\(f\)に対して
\begin{align*} F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt \end{align*}
が存在する時、これを\(f\)のラプラス変換という。
結論から述べると、
\begin{align*} \int_0^\infty e^{-st} \sin (at) dt = \frac{a}{s^2 + a^2}\\ \int_0^\infty e^{-st} \cos (at) dt = \frac{s}{s^2 + a^2} \end{align*}
となります。
sinのラプラス変換
\begin{align*} F(s) &= \int_0^\infty e^{-st} \sin(at) dt
\\&= \lbrack -\frac{1}{s} e^{-st} \sin (at) \rbrack _0^\infty – \int_0^\infty – \frac{1}{s} e^{-st} a \cos (at) dt
\\&= 0 – \int_0^\infty – \frac{1}{s} e^{-st} a \cos (at) dt
\\&= \int_0^\infty \frac{1}{s} e^{-st} a \cos (at) dt
\\&= \lbrack – \frac{1}{s^2} e^{-st} a \cos (at) \rbrack_0^\infty – \int_0^\infty – \frac{1}{s^2} e^{-st } (-a^2) \sin (at) dt
\\&= \frac{a}{s^2} – \frac{a^2}{s^2} F(s) \end{align*}
ですので、
\begin{align*} (1 + \frac{a^2}{s^2})F(s) = \frac{a}{s^2} F(s) \end{align*}
より、
\begin{align*} F(s) = \frac{a}{s^2 + a^2}\end{align*}
と求めることができました。
cosのラプラス変換
\begin{align*} F(s) &= \int_0^\infty e^{-st} \cos(at) dt
\\&= \lbrack – \frac{1}{s} e^{-st} \cos (at) \rbrack_0^\infty + \int_0^\infty – \frac{1}{s} e^{-st} a \sin (at) dt
\\&= \frac{1}{s} + \lbrack \frac{1}{s^2} e^{-st} a \sin (at) \rbrack_0^\infty – \int_0^\infty \frac{1}{s^2} e^{-st} a^2 \cos (at) dt
\\&= \frac{1}{s} – \frac{a^2}{s^2} F(s) \end{align*}
ですので、
\begin{align*} (1 + \frac{a^2}{s^2})F(s) = \frac{1}{s} F(s) \end{align*}
となるので、
\begin{align*} F(s) = \frac{s}{s^2 + a^2} \end{align*}
と求めることができました。
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