下方部分積率とは？定義と計算方法をわかりやすく解説！！

2023年10月20日

下方部分積率（Lower Partial Moment：LPM）は、投資のリスク評価に使用される統計的手法の一つです。特に、金融経済学やポートフォリオの最適化の文脈で使用されることがあります。

下方部分積率とは？定義と計算方法をわかりやすく解説！！

伝統的に、投資のリスクを評価するための主要な指標は分散や標準偏差でした。

分散

\(X\) を収益率とする。\(X\)は確率変数で確率密度関数を\(f(x)\)とする分布に従う。
収益率の分散は、以下で求めることができる。
\begin{align*} V(X) = \int_{-\infty}^\infty |x – E(X)|^2 f(x) dx \end{align*}

しかし、これらの指標はポートフォリオの上昇と下降の両方の変動を考慮しています。多くの投資家は、ポートフォリオの価値が上昇する変動（つまり、リターンが期待値以上の場合）を「リスク」とは考えません。

そこで、期待収益率からの乖離のうち、低い方への乖離のみをリスクとして捉えることにした場合、以下のような尺度を考えることができます。

定義: 下方半分散

\(X\) を収益率とする。\(X\)は確率変数で確率密度関数を\(f(x)\)とする分布に従う。
\begin{align*} V^{-}(X) = \int_{-\infty}^{E(X)} |E(X) – x|^2 f(x) dx \end{align*}
を、収益率の下方半分散という。

さらにこの考え方を一般化しましょう。
期待収益率からの乖離を、目標収益率からの乖離へと一般化し、乖離度合いへの重みづけを\(2\)乗に限らずもっといろんな実数値をとれるようにしてみましょう。
すると、以下の量を定めることができます。

定義: 下方部分積率

\(X\) を収益率とする。\(X\)は確率変数で確率密度関数を\(f(x)\)とする分布に従う。
\(c\) を目標としている収益率とし、\( \lambda \in \mathbb R\) とする。
\begin{align*} LPM(X) = \int_{-\infty}^c |c – x|^\lambda f(x) dx \end{align*}
と定め、これをパラメータ\(\lambda\)の下方部分積率という。

\(\lambda = 2\)で\(c = E(X)\)であるときには、下方部分積率は下方半分散と一致することがわかります。

ここで、目標としている収益率が何なのかについて補足しておきましょう。
目標収益率は自由に設定できる値で、自分の主観に基づいて「これ以下だと残念だな」と思える値です。
期待収益率でもよければ、何かクライアントに要求されている値でもよいです。

結論として、下方部分積率は投資のリスクを評価する際の非常に有用なツールです。
伝統的なリスク指標とは異なり、LPMは投資家が最も関心を持っているリスク、つまり損失のリスクだけを対象としています。
これにより、より現実的なリスク評価が可能となります。

ただし、リスクの尺度として何が良いかという絶対的な答えはなく、状況に応じて使い分けることが求められます。

下方部分積率の他によく使われるリスク尺度としてはVaRやCVaRがあります。
VaRのメリットとしては

直感的理解: VaRは「一定の確率で最大でこれだけの損失が発生する」という具体的な金額やパーセンテージを提供するため、非常に直感的に理解しやすい。
業界標準: 金融業界で広く採用されているため、他の機関や投資家とのコミュニケーションがとりやすい。
計算の容易さ: 一定の確率での最大損失を計算する方法は比較的シンプルである。

一方でデメリットとしては

極端なリスクの無視: VaRは特定の確率での損失を示すだけで、それを超える「テールリスク」についての情報を提供しない。

が考えられます。

それに対して下方部分積率については

メリット:

テールリスクの考慮: 下方部分積率は、リターンが目標以下である場合のリスクをすべて考慮するので、テールリスクを捉えることができる。
柔軟性: 乖離度合いをどれだけ重要視するかの重みづけパラメータ(\(\lambda\)のこと)を変更することで、リスクの感度を変えることができる。例えば、重みが大きい場合は乖離度を大きく考慮するため、大きな損失を重く捉えることができる。（※一般的にそう言われているが、実際には乖離度が1以下のような値の場合には、\(\lambda\)が大きければ大きいほど乖離度を小さく評価してしまうので注意）

デメリット:

直感的理解の難しさ: 下方部分積率はVaRと比較して直感的に理解しにくい可能性がある。

つまりVaRと下方部分積率は、リスクを評価する方法としてそれぞれの特徴と用途がありますが、VaRは業界標準としての位置づけが強く、直感的な理解がしやすい一方で、テールリスクの詳細を捉えることが難しいという欠点があります。一方、下方部分積率はテールリスクをより詳細に捉えることができる一方で、直感的な理解の難しさが挙げられます。

それぞれのリスク尺度の特性を理解し、適切な状況や目的に合わせて利用することが重要です。