指数分布の中央値の求め方をわかりやすく解説！

指数分布は、連続確率分布の一種で、事象の発生間隔が独立かつ同一の確率で発生する場合に使用されます。
この記事では、指数分布の中央値の求め方を解説します。

確率変数がパラメータが\(\lambda\)である指数分布に従うとは、確率密度関数が、
\begin{align*} f(x) \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & (x \geq 0) \\ 0 & \textrm{otherwise} \end{cases} \end{align*}
であることでした。

思い返してみると、中央値とは、
\begin{align*} F(M) = \frac{1}{2} \end{align*}
を満たす\(M\)でした。

これを指数分布の場合に計算してみると、
\begin{align*} F(s) = \int_0^s \lambda e^{- \lambda x} dx = 1 – e^{-\lambda s}\end{align*}
であるので、
\begin{align*} 1 – e^{-\lambda M} = \frac{1}{2} \end{align*}
を\(M\)について解けばよいことがわかります。
つまり、少し変形すると、
\begin{align*} \frac{1}{2} = e^{ – \lambda M}\end{align*}
なので、両辺について\(\log\)をとってやると、
\begin{align*} – \log 2 = – \lambda M \end{align*}
となるので、結局
\begin{align*} M = \frac{1}{\lambda } \log 2 \end{align*}
であることがわかります。