最小分散ポートフォリオの投資比率の求め方・計算式をわかりやすく解説

2023年7月20日2023年10月19日

最小分散ポートフォリオは、実現可能なポートフォリオのうち、分散（あるいは標準偏差・リスク）が最小化する投資比率を設定したポートフォリオのことを指します。この記事では、最小分散ポートフォリオの投資比率の求め方と計算式をわかりやすく解説します。

最小分散ポートフォリオの投資比率を証明・求め方を解説

分散が非負であることから、分散を最小とすることと、標準偏差(リスク)を最小化することは同値であることに注意しておきます。従って、リスク最小ポートフォリオ・最小リスクポートフォリオ・分散最小ポートフォリオ・最小分散ポートフォリオなどの異なる表現は全て同じポートフォリオを意味します。

2資産の大域的最小分散ポートフォリオ

2資産の場合で解説します。まずはリターンの期待値に制約がないの場合を考えてみましょう。
リターンの期待値に制約がない場合の最小分散ポートフォリオは、投資機会集合全体の中で分散最小のものであることから、大域的最小分散ポートフォリオということができます。

注意(読み飛ばして大丈夫です)：投資機会集合全体ではなく、効率的フロンティアのうち分散が最小であるものを最小分散ポートフォリオという場合があります。投資機会集合全体の中での分散最小ポートフォリオのうち、リターンが最大のものは効率的フロンティアに属しますが、全てが効率的フロンティアに属するとは限らないです。実際、リターンは異なるがリスクが等しく、相関係数が1である2資産から構成されるポートフォリオは全て分散最小ポートフォリオとなるが、明らかにリターンが高い資産100%で構成されるポートフォリオだけが効率的フロンティアに属します。

状況設定

2種類の資産AとBが存在します
資産Aのリターンの期待値は$\mu_A$で、標準偏差は$\sigma_A$です。
資産Bのリターンの期待値は$\mu_B$で、標準偏差は$\sigma_B$です。
資産A, Bの相関係数は$\rho$ です。
資産AとBへの投資比率が$w : (1-w)$ であるポートフォリオを考えます。$0 \leq w \leq 1$

問題は、このときポートフォリオの標準偏差(リスク)が最小となる投資比率を求めよというものです。また、このようリスクが最小であるポートフォリオを最小分散ポートフォリオといいます。

ポートフォリオの標準偏差(リスク)$\sigma_P$は
\begin{align*} \sigma_P = \sqrt{w^2 \sigma_A^2 + (1-w)^2 \sigma_B ^2 + 2w(1-w) \rho \sigma_A \sigma_B} \end{align*}
で与えられたことを思い出しておきましょう。従って、解決すべき最適化問題は

最適化問題

\begin{align*} \textrm{minimize}_w \quad \sigma_P = \sqrt{w^2 \sigma_A^2 + (1-w)^2 \sigma_B ^2 + 2w(1-w) \rho \sigma_A \sigma_B} \end{align*}

となります。結論として、この$\sigma_P$を最小にする$w$ は

大域的最小分散ポートフォリオの投資比率

\begin{align*} w = \frac{\sigma_B^2 – \rho \sigma_A \sigma_B}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 – 2 \rho \sigma_A \sigma_B} \end{align*}

により与えられます。

証明：$\sigma^2$ を最小とする$w$を探すことにします。最適化条件は
\begin{align*} \frac{d}{dw} \sigma^2 = 0 \end{align*}
で与えられます。

\begin{align*} \sigma_P^2 = w^2 \sigma_A^2 + (1-w)^2 \sigma_B ^2 + 2w(1-w) \rho \sigma_A \sigma_B \end{align*}
なので、$w$ に関して微分すると、
\begin{align*} \frac{d}{dw} \sigma_P^2 = 2 w \sigma_A^2 – 2 \sigma_B^2 + 2w \sigma_B^2 + 2 \rho \sigma_A \sigma_B – 4w \rho \sigma_A \sigma_B \end{align*}
が得られます。従って、最適化条件を満たす$late w$ は
\begin{align*}2 w \sigma_A^2 – 2 \sigma_B^2 + 2w \sigma_B^2 + 2 \rho \sigma_A \sigma_B – 4w \rho \sigma_A \sigma_B = 0 \end{align*}
を解くことで得られます。実際に解いてみると、
\begin{align*}w = \frac{\sigma_B^2 – \rho \sigma_A \sigma_B}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 – 2 \rho \sigma_A \sigma_B} \end{align*}
が得られます。これで証明を終わります。

またこのことから、資産Bに対する最小分散投資比率である$1 -w $ は
\begin{align*} 1 -w = \frac{\sigma_A^2 – \rho \sigma_A \sigma_B}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 – 2 \rho \sigma_A \sigma_B} \end{align*}
であることがわかります。

補足：本当に最適化条件を解くと分散が最小であるかどうか

注意：厳密にはこの$w$が$\sigma_P$ の臨界点であることはわかりますが、最小であるかどうかは直ちにはわかりません。しかし、資産の相関係数が1でない場合には、リスク分散効果から、ポートフォリオのリスクは投資比率に関して真に下に凸であることが保証されていますので、臨界点が確かに最小点であることが確かめられます。リスク分散効果については下記の記事に説明を記述させていただきました。

2資産の最小分散ポートフォリオ(期待リターン制約付き)

ここでは、実現可能なポートフォリオのうち、期待リターン(リターンの期待値)を一定レベル$\mu_P$であるポートフォリオ全体の中から分散が最小となるポートフォリオを探す方法について解説します。即ち、以下の制約付き最適化問題を解くことを考えます。

制約付き最適化問題

\begin{align*} &\textrm{minimize}_w \quad \sigma_P = \sqrt{w^2 \sigma_A^2 + (1-w)^2 \sigma_B ^2 + 2w(1-w) \rho \sigma_A \sigma_B} \\ & \quad \quad \textrm{s.t.} \quad w \mu_A + (1 – w) \mu_B = \mu_P \end{align*}

同じことであるので、$\sigma_P$ の代わりに$\sigma_P ^2 $ を最小化することを考えます。

しかしながら、2資産の場合について解く労力と、$n$資産で解く労力はそれほど変わらなかったため、
2資産以上で考えることにします。

2資産以上の最小分散ポートフォリオ(期待リターン制約付き)

2資産以上の最小分散ポートフォリオ(期待リターン制約付き)を考えます。
ただし、安全資産の存在は仮定せず、全て危険資産である状況を考えます。

状況設定

以下の状況を考えます。

(1)$A_1, \dots, A_n$ という$n$つの異なる危険資産が存在する。

(2)$A_1, \dots, A_n$ の期待リターンを$\mu_1, \dots, \mu_n$とする。

(3)$\Sigma$ をリターンの共分散行列とする。

(4)$A_1, \dots, A_n$ への投資比率を$w_1, \dots, w_n$ とする。

今ここで、次のような問題を考えます。

問題：最小分散ポートフォリオを求めよ

ポートフォリオのリターンが
\begin{align*} \mu_P \end{align*}
であるようなポートフォリオを考えます。このようなポートフォリオのうち、分散が最小となるポートフォリオを求めてみましょう。

即ち、解くべき制約付き最適化問題は下記の問題です。

制約付き最適化問題

\begin{align*} &\textrm{minimize}_w \quad w^t \Sigma w \\& \textrm{s.t.} \begin{cases} w^t \mu = \mu_P \\ w^t e =1 \end{cases} \end{align*}

ただし、
\begin{align*} \mu =\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}, \quad e =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}

とします。

\begin{align*} \Sigma, \quad \begin{pmatrix} \mu^t \Sigma^{-1} \mu & \mu^t \Sigma^{-1} e \\ \mu^t \Sigma^{-1} e & e^t \Sigma^{-1} e \\ \end{pmatrix} \end{align*}
が正則行列であると仮定して議論をすすめることにします。

ラグランジュ未定乗数法を用いて解くことを考えます。
\begin{align*} L(w, \lambda_1, \lambda_2) = w^t \Sigma w – \lambda_1 (w^t \mu – \mu_P) – \lambda_2 (w^t e – 1) \end{align*}
とラグランジュ関数を設定します。

\begin{align*} \partial_w w^t \Sigma w = (\Sigma + \Sigma ^t )w = 2 \Sigma w \end{align*}
であることを思い出しておきます。従って、最適化条件は以下のようになります。

\begin{align*} &\partial_x L(w, \lambda_1, \lambda_2) = 2\Sigma w -\lambda_1 \mu – \lambda_2 e = 0\\ &\partial_{\lambda_1}L(w, \lambda_1, \lambda_2) = \quad w^t \mu – \mu_P \quad \quad = 0 \\& \partial_{\lambda_2}L(w, \lambda_1, \lambda_2) = \quad w^t e – 1 \quad \quad \quad = 0 \end{align*}

\begin{align*} 2\Sigma w -\lambda_1 \mu – \lambda_2 e = 0 \end{align*}
の両辺に、$\Sigma^{-1}$をかけると、
\begin{align*} 2 w \,\, – \,\, \lambda_1 \Sigma^{-1} \mu \,\, – \,\, \lambda_2 \Sigma^{-1} e = 0\end{align*}
が得られます。$\mu^t$や$e^t$をかけると$\mu^t w = \mu_P, e^t w = 1$ であるので、
\begin{align*} 2 \mu^t w \,\, – \,\, \lambda_1 \mu^t \Sigma^{-1} \mu \,\, – \,\, \lambda_2 \mu^t \Sigma^{-1} e = 0 \\ 2 e^t w \,\, – \,\, \lambda_1 e^t \Sigma^{-1} \mu \,\, – \,\, \lambda_2 e^t \Sigma^{-1} e = 0 \end{align*}

であるので、
\begin{align*} 2 \mu_P \,\, = \,\, \lambda_1 \mu^t \Sigma^{-1} \mu \,\, + \,\, \lambda_2 \mu^t \Sigma^{-1} e \\ 2 \,\, = \,\, \lambda_1 e^t \Sigma^{-1} \mu \,\, + \,\, \lambda_2 e^t \Sigma^{-1} e \end{align*}
が得られます。これを行列のかたちで表記すると、

\begin{align*} \begin{pmatrix} \mu^t \Sigma^{-1} \mu & \mu^t \Sigma^{-1} e \\ \mu^t \Sigma^{-1} e & e^t \Sigma^{-1} e \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align*}
ですので、
\begin{align*} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \mu^t \Sigma^{-1} \mu & \mu^t \Sigma^{-1} e \\ \mu^t \Sigma^{-1} e & e^t \Sigma^{-1} e \\ \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\& = \frac{1}{\mu^t \Sigma^{-1}\mu e^t \Sigma^{-1} e \,\, – \,\, \left( \mu^t \Sigma^{-1} e\right)^2} \begin{pmatrix} e^t \Sigma^{-1} e & – \mu^t \Sigma^{-1} e \\ – \mu^t \Sigma^{-1} e & \mu^t \Sigma^{-1} \mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align*}
と$\lambda_1, \lambda_2$ を求めることができます。

\begin{align*} 2 w \,\, – \,\, \lambda_1 \Sigma^{-1} \mu \,\, – \,\, \lambda_2 \Sigma^{-1} e = 0 \end{align*}
であったことを思い出すと、
\begin{align*} w
&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \Sigma^{-1} \mu & \Sigma^{-1} e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{pmatrix} \\& = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \Sigma^{-1} \mu & \Sigma^{-1} e \end{pmatrix} \frac{1}{\mu^t \Sigma^{-1}\mu e^t \Sigma^{-1} e \,\, – \,\, \left( \mu^t \Sigma^{-1} e\right)^2} \begin{pmatrix} e^t \Sigma^{-1} e & – \mu^t \Sigma^{-1} e \\ – \mu^t \Sigma^{-1} e & \mu^t \Sigma^{-1} \mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}
\\&= \begin{pmatrix} \Sigma^{-1} \mu & \Sigma^{-1} e \end{pmatrix} \frac{1}{\mu^t \Sigma^{-1}\mu e^t \Sigma^{-1} e \,\, – \,\, \left( \mu^t \Sigma^{-1} e\right)^2} \begin{pmatrix} e^t \Sigma^{-1} e & – \mu^t \Sigma^{-1} e \\ – \mu^t \Sigma^{-1} e & \mu^t \Sigma^{-1} \mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
\\&= \frac{1}{\mu^t \Sigma^{-1}\mu e^t \Sigma^{-1} e \,\, – \,\, \left( \mu^t \Sigma^{-1} e\right)^2} \begin{pmatrix} \Sigma^{-1} \mu & \Sigma^{-1} e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^t \Sigma^{-1} e \,\, – \,\, \mu^t \Sigma^{-1} e \\ – \mu^t \Sigma^{-1} e \,\, + \,\, \mu^t \Sigma^{-1} \mu \end{pmatrix}
\\&= \frac{\left( e^t \Sigma^{-1} e \,\, – \,\, \mu^t \Sigma^{-1} e \right)\Sigma^{-1} \mu + \left( – \mu^t \Sigma^{-1} e \,\, + \,\, \mu^t \Sigma^{-1} \mu \right)\Sigma^{-1} e}{\mu^t \Sigma^{-1}\mu e^t \Sigma^{-1} e \,\, – \,\, \left( \mu^t \Sigma^{-1} e\right)^2} \end{align*}
と投資比率$w$を求めることができます。

安全資産が存在する市場の最小分散ポートフォリオ(期待リターン制約つき)

安全資産が存在する場合に、市場の市場の最小分散ポートフォリオを考えます。

状況設定：安全資産あり

以下の状況を考えます。

(1)$A_1, \dots, A_n$ という$n$つの異なる危険資産が存在する。

(2)$A_1, \dots, A_n$ の期待リターンを$\mu_1, \dots, \mu_n$とする。

(3)$\Sigma$ をリターンの共分散行列とする。

(4)$A_1, \dots, A_n$ への投資比率を$v_1, \dots, v_n$ とする。

(5)$A_f$ を安全資産とし、リターンを$\mu_f$とする。

このとき、最小分散ポートフォリオを期待リターンに制約がついた状態で求める問題は以下のように定式化されます。

制約付き最適化問題

\begin{align*} &\textrm{minimize} \quad v^t \Sigma v \\&\textrm{s.t.} \quad \mu_f(1 – v^t e ) + v^t \mu – \mu_P \end{align*}

\begin{align*} \mu =\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}, \quad e =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}

ポートフォリオの分散を最小化するので、素朴には安全資産も含めたn+1個の資産の共分散行列を最小化することを考えるのですが、
安全資産と危険資産の間の共分散は0であるので、結局は危険資産たちの共分散行列を最小化すればよいので、上記のような定式化になります。

便宜上の記号

\begin{align*} \eta = \mu – \mu_f e \end{align*}

という記号を導入します。

\begin{align*} \textrm{危険資産の期待リターン} – \textrm{安全資産のリターン}\end{align*}

からなるベクトルを意味します。即ち超過リターンあるいはリスクプレミアムを表しています。

すると、制約付き最適化問題を、次のように$\eta$の記号を用いて表すことができます。

制約付き最適化問題(超過リターンによる表現)

\begin{align*}&\textrm{minimize} \quad v^t \Sigma v \\&\textrm{s.t.} \quad v^t \eta + \mu_f – \mu_P \end{align*}

では実際に、制約付き最適化問題をラグランジュの未定乗数法で解くために、ラグランジュ関数を設定します。
\begin{align*} L(v, \lambda) = \quad v^t \Sigma v – \lambda (\mu_f(1 – v^t e ) + v^t \mu – \mu_P ) \end{align*}

すると、最適化条件は
\begin{align*} &\partial_v L = 2 \Sigma v – \lambda \eta = 0
\\&\partial_\lambda L = v^t \eta + \mu_f – \mu_P = 0\end{align*}
となります。

$\lambda $ を求めましょう。上の式から
\begin{align*} v = \frac{\lambda}{2} \Sigma^{-1} \eta \end{align*}
が得られ、$\eta^t$ をかけると、
\begin{align*} \eta^t v = \frac{\lambda}{2} \eta^t \Sigma^{-1} \eta\end{align*}
となりますが、最適化条件の$v^t \eta + \mu_f – \mu_P = 0$より
\begin{align*}\mu_P – \mu_f = \frac{\lambda}{2} \eta^t \Sigma^{-1} \eta \end{align*}
となります。従って、
\begin{align*} \lambda = \frac{2 (\mu_P – \mu_f)}{\eta^t \Sigma^{-1} \eta } \end{align*}
が得られます。

この式を$v = \frac{\lambda}{2} \Sigma^{-1} \eta $ に代入すると、危険資産の投資比率
\begin{align*} v =\frac{\mu_P – \mu_f}{\eta^t \Sigma^{-1} \eta } \Sigma^{-1} \eta \end{align*}
が得られます。またこのことから、安全資産の投資比率が
\begin{align*}1 – \frac{\mu_P – \mu_f}{\eta^t \Sigma^{-1} \eta } \Sigma^{-1} \eta \end{align*}
であることが直ぐにわかります。

これらの結果から、最小分散ポートフォリオの分散は
\begin{align*} v^t \Sigma v &= \left( \frac{\mu_P – \mu_f}{\eta^t \Sigma^{-1} \eta } \Sigma^{-1} \eta \right) ^t \Sigma \left( \frac{\mu_P – \mu_f}{\eta^t \Sigma^{-1} \eta } \Sigma^{-1} \eta\right)
\\&= \left( \frac{\mu_P – \mu_f}{\eta^t \Sigma^{-1} \eta }\right)^2 \eta ^t (\Sigma^{-1})^t \Sigma \Sigma^{-1} \eta
\\&= \left( \frac{\mu_P – \mu_f}{\eta^t \Sigma^{-1} \eta }\right)^2 \eta^ t \Sigma \eta
\\&= \frac{ (\mu_P – \mu_f)^2}{\eta^t \Sigma^{-1} \eta }\end{align*}
と求めることができるので、ポートフォリオの標準偏差(リスク)$\sigma_P$は
\begin{align*} \sigma_P = \frac{ (\mu_P – \mu_f)^2}{\sqrt {\eta^t \Sigma^{-1} \eta }}\end{align*}
であることが確認できます。また、ポートフォリオの期待リターンは
\begin{align*} \mu_P = \mu_f + \sqrt{\eta ^t \Sigma^{-1} \eta } \,\, \sigma_P \end{align*}
と書けることがわかります。

このことは、安全資産の含む市場における最小分散ポートフォリオが、切片を$\mu_f$ とする直線上に位置することを意味しています。