新着情報

この記事ではポートフォリオの標準偏差の重みに関する勾配を求めます。 $latex X_1, \ldots, X_n$を、標準偏差が$latex \sigma_1, \ldots, \sigma_n$である確率変数とします。$latex w_1, \ldots, w_n \in \mathbb (0,1)$を、\begin{align*} w_1 + \ldots ...

この記事では標準正規分布の二乗が自由度1のカイ二乗分布であることの証明をします。 まず最初にカイ二乗分布の確率 定義: カイ二乗分布 自由度$latex k$のカイ二乗分布の確率密度関数は、\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{\left( \frac{1}{2}\r...

この記事では、事故発生件数がポアソン分布に従う1件目控除つき保険の期待支払額を計算します。 事故の発生件数が平均パラメータ$latex \lambda$のポアソン分布に従うとします。1件目の事故に対しては支払いはなく、2件目の事故から、1件あたり$latex L$円...

この記事では一様分布の分散の求め方を解説します。 命題: 一様分布の分散 確率変数$latex X$は一様分布$latex U(a, b)$に従うとします。このとき、\begin{align*} V(X) = \frac{(b-a)^2}{12} \end{align*}が成り立ちます。 実際に計算してみましょう。 一...

この記事では二項分布が再生性をもつことを積率母関数を用いて証明する方法を解説します。 命題: 二項分布の再生性 $latex X$をパラメータ$latex n, p$の二項分布$latex Bin(n, p)$に従う確率変数とし、$latex Y$をパラメータ$latex m, p$の二項分布$latex...

この記事では、二項分布の積率母関数(モーメント母関数)の求め方を解説します。 確率変数$latex X$の積率母関数とは、\begin{align*} M_{X}(t) = E(e^{tX}) \end{align*}により定義される関数のことでした。 結論から述べると、 命題: 二項分布の積率母関...

この記事では、正規分布が再生性をもつことの証明をします。 $latex X, Y$をそれぞれ独立な正規分布$latex N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)$に従うとします。つまり、\begin{align*} X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\quad Y \sim N(\mu_2, \sigm...

ポアソン分布の再生性、つまり独立なポアソン分布に従う確率変数の和もまたポアソン分布に従うことを証明します。 命題: ポアソン分布の再生性 $latex X \sim Po(\lambda_1), Y \sim Po(\lambda_2)$で、互いに独立であるとします。このとき、\begin{align*...

今回は、生存関数を用いて確率変数の期待値を求める方法について詳しく解説します。数学的な導出だけでなく、直感的な理解や具体的な例も交えて説明していきます。 定義 確率変数$latex X$に対して、\begin{align*} S(t) = P( t \leq X)\end{align*}を$lat...

統計学や確率論において、ポアソン分布はランダムな事象の発生をモデル化する際に非常に重要な確率分布です。特に、一定の時間や空間内での稀な事象の発生回数を扱う場合によく用いられます。 本記事では、ポアソン分布の最頻値（モード）の求め方について...

二項分布が単峰性(unimodality)を満たすことを証明します。まず単峰性の定義を確認しましょう。 定義: 単峰性(unimodality) 離散型の確率変数$latex X$は、\begin{align*} P(X = 0) \leq P(X = 1) \leq \cdots \leq P(X = k) \geq P(X = k+1) \geq \cdots ...

統計学や確率論において、二項分布は非常に重要な確率分布の一つです。これは、成功確率が一定の試行を複数回行ったときの成功回数を表す分布です。二項分布の特性を理解することは、データ分析や統計的推測を行う上で不可欠です。 本記事では、二項分布の...

指数分布は、連続確率分布の一種で、事象の発生間隔が独立かつ同一の確率で発生する場合に使用されます。この記事では、指数分布の中央値の求め方を解説します。 確率変数がパラメータが$latex \lambda$である指数分布に従うとは、確率密度関数が、\begin{...

投資やリスク管理の分野では、キャッシュフローのタイミングや金額の変動を考慮した評価が非常に重要です。特に、キャッシュフローが将来に繰り延べられる場合（Deferred Cash Flows）、その評価には特別な注意が必要です。本記事では、「Deferredキャッシ...

ビジネスや投資の世界では、キャッシュフローのパターンはさまざまです。その中でも、支払い金額が期間の経過とともに増加し、その後減少する「山型キャッシュフロー」は特異なパターンとして知られています。現実の世界で綺麗に山型キャッシュフローとな...

$latex L$円を$latex T$期間で元金均等返済で貸し出すことを考えます。各期の金利は$latex i$で、支払いは各期末に発生します。受け取った返済金は、その期末にすぐに各期の利率$latex j$で再投資するものとします。現在を$latex 1$期の始まりと仮定し、各...

乱数生成は統計やシミュレーションにおいて非常に重要な役割を果たします。特に、特定の確率分布に従う確率変数を生成することは、統計モデリングや金融工学など多くの分野で必要です。その一つの方法として「逆関数法」がよく使われます。今回は、この逆...

数学が好きで、大学で学んだ内容をブログに書きたいと思う人は多いかもしれません。しかし、残念ながら「広告収入だけで稼ぐ」のはほぼ無理です。多分、サーバー代とかドメイン代で赤字になります。 広告収入がどれくらいか Google Adsenseの広告収入に関...

確率分布に従った乱数を生成する方法は多く存在しますが、複雑な分布では直接サンプリングが難しいことがあります。そんなときに役立つのが 棄却法（Rejection Sampling） です。この記事では、棄却法の原理と使い方について、わかりやすく解説します。 こ...

本記事では、年金現価と年金終価という2つの重要な概念を中心に、その逆数の差が金利に等しくなるという興味深い関係式について詳しく解説します。 まず、記号を導入します。各期の金利を$latex i$で表します。$latex n$期間、毎期末に1ずつ払う年金の現価...

金融計算や資産運用において、「年金終価」は重要な概念です。特に、支払いのタイミングによって「期始払い」と「期末払い」の2種類が存在し、それぞれの将来価値（終価）は異なります。本記事では、これら2つの年金終価の再帰的関係式を導出し、その背後...

元利均等返済とは、毎月の支払い額が一定で、元金と利息が混ざった形で返済していく方式です。毎月支払う額が固定されているので、計画的に返済がしやすいのが特徴です。 返済初期は、利息が大きく、元金返済が少ない。返済が進むにつれて、元金部分の返済...

ローンを組むとき、毎月支払う金額が一定になる元利金等返済はとても一般的です。この仕組みを理解することは、金融計画にも役立ちます。この記事では、この元利金等返済の公式を、できるだけ簡単に説明します。 元利均等返済は、毎月の返済額が一定になる...

毎期減少していく期末払い年金の現在価値を計算してみます。記号として、$latex n$期間の期末払い確定年金の現在価値を$latex a_n$で表記することにします。割引率を$latex v$で表すことにします。 命題 paymentが\begin{align*} n, n-1, n-2 , \ldots, 1 ...

パー債券とは、額面価格と同じ価格で発行される債券のことです。通常、債券にはクーポン（利息）が付いており、一定の期間ごとに投資家に支払われます。パー債券では、このクーポン率が市場利率と一致しているため、額面通りの価格で取引されます。 設定お...

ベースフード（BASE FOOD）は、健康を意識した完全栄養のパンとして多くの人に愛用されています。しかし、ライフスタイルの変化や個人の好みによって解約を考えることもあるでしょう。この記事では、解約の手順をステップごとに詳しく解説していきます。 B...

確率変数の二乗の確率密度関数の求め方を簡単に解説します。 確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説 連続型の確率変数を想定しています。まず最初に、適当な確率変数$latex X$に対して、\begin{align*} f(x) = \partial_x F(x)\end{alig...

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。数学や物理学に限らず、あらゆる分野で改行や改ページが頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXで改行や改ページをどのようにするかを詳しく解説します。

限界代替率（MRS: Marginal Rate of Substitution）とは、経済学において消費者の選好を表現する重要な概念であり、特定の財の組み合わせにおいて、ある財を1単位追加で得るために、他の財をどれだけ犠牲にできるかを示します。

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。特に数学や物理学の分野では、テンソル積や直和の表記が頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXでテンソル積や直和の記号をどのように表現するかを詳しく解説します。

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。特に数学の分野では、等号や不等号の表記が頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXで等号や不等号の記号をどの...

経済学におけるエッジワースボックスは、複数の個人が互いに利益を最大化するために財をどのように交換するかを考える上で、パレート最適な点を視覚的に表現するための便利な図です。

経済学において「弾力性」とは、ある変数（例えば価格や所得）が変動したときに、他の経済変数（例えば需要や供給）がどの程度応答するかを測る指標です。この概念は、市場の反応を理解し、価格設定や政策立案において重要な役割を果たします。

LaTeXは数式の表現に優れたタイプセッティングシステムであり、数学的なドキュメントや科学的な論文を作成する際に広く使用されています。特に数学の分野では、ルート記号（根号）の表記が頻繁に必要とされます。この記事では、LaTeXでルート記号をどのように表現するかを詳しく解説します。

ソローモデルは、マクロ経済学における経済成長理論の一つで、1956年にロバート・ソローによって提唱されたものです。このモデルは、経済がどのように成長し、時間とともにどのように変化するかを理解するためのフレームワークを提供します。

日商簿記2級の試験は、その実践的な内容と多岐にわたる出題範囲から、多くの受験者にとって簡単とは言えません。しかし、効率的な勉強方法と適切な戦略を用いることで、短期間でも合格は十分に可能です。ここでは、独学でわずか100時間の学習で合格するための裏技を紹介します。

多項式カーネルの半正定値性と一次独立生の証明をわかりやすく解説します。

レバレッジ型ETFには「逓減（decay）」と呼ばれる現象が存在し、これは長期投資におけるリスク要因となります。逓減とは、オリジナルの指標ではレンジでもとの価格に戻ってきているのに、レバレッジ型ETFの価格はもとの価格よりも低くなってしまう現象のことを指しています。この記事では逓減が発生する理由や原因を数学的に解説します。

ケリー基準は、ある賭けの勝利確率、敗北時に失う金額、そして勝利した場合に得られる金額を基にして、その賭けに投じるべき資金の割合を計算します。この基準に従うことで、長期的に見て資金を効率的に増やすことができます。

この記事では、離散一様分布の期待値と分散の導出をわかりやすく解説します。

小中高生向け数学の問題の中でも特に微妙なものの一つが、「次の数列の一般項を求めよ」という問題です。学生はしばしば、与えられた数列のパターンを見つけ、その一般項を導き出すよう求められます。しかし、この種の問題には答えが一意に定まらないという問題があります。

金利平価（Interest Rate Parity, IRP）は、為替レートの動きを予測する上で重要な役割を果たします。カバー付き金利平価（Covered Interest Parity, CIP）とカバーなし金利平価（Uncovered Interest Parity, UIP）の主な違いは、為替リスクをヘッジするかどうかです。

$latex \sum \frac{\sin nx}{n}$という級数が各点収束することを証明します。

n次正方行列の相異なる固有値に対する固有ベクトルは一次独立であることを証明します。

本記事では海外投資の自国通貨建て予想収益率の近似式をわかりやすく解説します。

関手の忠実性と充満性とは、射の集合に制限した時に単射および全射となる関手のことである。

この記事では、sinやcosなどの三角関数のラプラス変換をわかりやすく解説します。

この記事では$latex \frac{1}{x^3 + 1}$の不定積分をわかりやすく解説します。

VaR(バリューアットリスク)はリスクマネジメントにおいて解釈が容易であることから多用されるリスク尺度ですが、整合的リスク尺度でないという観点からリスク尺度として不適当であるという指摘があります。本記事ではVaRが整合的リスク尺度でないことをわかりやすく解説します。

複数のランダムな出来事に直面した際に、最も好ましい選択をする意思決定の基準として、「確率優越」という考え方が役に立つことがあります。

三角関数の微分や積分を学習している途中で、三角関数の積を積分するような練習問題に遭遇することがあります。この記事ではそのような積分の計算方法を具体例とともにわかりやすく解説します。

最小二乗法は、実際のデータの値と予測値の誤差を最小化することによりモデルのパラメータを選ぶ方法のうちの一つです。この記事では最小二乗法の式を偏微分を用いて導出する方法をわかりやすく解説します。

この記事では$latex xe^{x^2}$の微分とマクローリン展開をわかりやすく解説します。大学1年生の微積分の講義でしばしば扱われる関数であるので、暇な人は確認しておきましょう。

学習曲線と経験曲線効果は、生産や作業の効率が経験や繰り返しによって向上する現象を数学的にモデル化したものです。この現象は、特に製造業において重要な意味を持ち、コスト削減や生産性向上の戦略を立てる上で役立ちます。

この記事では、$latex a \neq b$であるとき、2つの指数関数$latex e^{ax}, e^{bx}$が一次独立であることを証明します。これを理解するためには、まず一次独立の定義から始め、次に関数空間における一次独立の概念を説明し、最後に実際の証明を行います。

選好の単調性と凸性は、経済学における消費者の選好に関する概念の一つです。ここでの「選好」とは、消費者がある消費計画を他の消費計画よりも好むかどうか、またはその逆かを示すものを指します。

下方部分積率（Lower Partial Moment：LPM）は、投資のリスク評価に使用される統計的手法の一つです。特に、金融経済学やポートフォリオの最適化の文脈で使用されることがあります。

$latex e^x$や$latex e^{-x}$の積分を計算することは難しくないですが、$latex \frac{1}{e^x + 1}$の積分を計算するのは若干難しいのではないでしょうか。この記事では、この積分計算をわかりやすく解説します。

ポアソン分布はイベントの発生間隔が指数分布に従うと仮定したとき、一定の時間に発生するイベントの回数の分布を表現しています。この記事では、ポアソン分布の導出をわかりやすく解説します。

無記憶性を有する連続型確率分布に関する重要な事実として、無記憶性を持つ連続型確率分布が指数分布のみであることを解説する。

$latex (f(x))^x$の微分をどうやって計算するかを分かりやすく解説します。高校数学でこの微分を導出させられることは少ないでしょうが、大学生であれば1年生の微分積分の講義で扱うことは非常に多いでしょう。

この記事ではYouTube動画における「変化のあるフレーム」、つまりシーンが大きく変わる瞬間や重要なポイントをOpenCVとPytubeを使い、自動で見つけ出してキャプチャする方法について解説します。

行列のアダマール不等式は正方行列の行列式と列ベクトルの積の関係を与える不等式です。

写像が単射・全射・全単射であるとはどういうことかについて、具体例を交えてわかりやすく解説します。大学数学の初めの段階では、関数や写像といった基本的な概念を学びますが、特に、単射であるか全射であるかということは非常に重要ですので、必ずマスターしておきましょう。

ガンマ分布は、一定の発生確率をもつ独立なイベントが特定の回数発生するまでの待機時間が従う確率分布です。この分布は確率論や統計学における基本的なもので、その応用範囲は非常に広く、工学や経済学など多岐にわたります。この記事ではガンマ分布の意味や性質と導出をわかりやすく解説します。

チェビシェフの不等式は、確率変数が特定の値から離れている確率を評価する不等式です。確率論や統計学における基本的かつ重要な不等式です。

加法的関数に連続性を仮定すれば、線形関数に限ることを証明します。

行列の積が結合則を満たすことの証明をわかりやすく解説。数学の基礎である線形代数のうち、行列の積の性質は非常に重要です。今回は行列の積の性質のうち、結合側を証明します。

整数全体は実数全体の部分位相空間として(相対位相をいれて)離散位相空間であることの証明をわかりやすく解説します。

余因子行列の計算は線形代数の基本的なテクニックの一つです。PythonとNumpyライブラリを利用することで、これを効率的に実装できます。この記事では、Pythonで余因子行列を簡単に計算する方法を紹介します。

二次形式の指数関数e^{ix^tAx}のフーリエ変換の証明をわかりやすく解説します。このタイプの関数のフーリエ変換は、停留位相(定常位相)の方法において基本的な役割を果たします。

Farkasの補題を証明します。これは線形計画問題や最適化問題で重要な補題で、凸解析の分離定理を用いて証明します。

フーリエ変換を2回行うことは、時間を反転させる作用に一致します。これは、フーリエ変換された関数に再びフーリエ変換を行うことと、フーリエ逆変換を行うことの間の関係をみることにより簡単にわかります。

最小分散ポートフォリオは、実現可能なポートフォリオのうち、分散（あるいは標準偏差・リスク）が最小化する投資比率を設定したポートフォリオのことを指します。

ヤングの不等式は、非負実数の積を評価する不等式で、ヘルダーの不等式の証明に用いられることから有名です。証明は対数関数の凸性からイェンゼンの不等式を使って証明します。ヤングの不等式の等号成立条件についても証明します。

移動平均過程（Moving Average Process MAモデル）の自己相関の計算や定常性について解説します。

2資産による投資機会集合(investment-opportunity-set)と効率的フロンティア(Efficient Frontier、有効フロンティア)を図を用いて解説します。ポートフォリオ理論の中心的な要素であり、投資を行う上での戦略決定において重要な役割を果たします。

ポートフォリオのリスク分散効果とは、ポートフォリオのリスクが、ポートフォリオを構成する資産のリスクの投資比率に応じた単なる加重平均よりも小さくなることです。

二つの確率変数に対して相関係数が必ず-1以上1以下の範囲であることの証明をわかりやすく解説します。

デルタ関数は超関数として定式化されますが、緩増加超関数であることが示せます。

エクセルのソルバー機能を使用して線形計画問題を解く方法について説明します。線形計画問題は、限られたリソースを最適に配分し、行動を最適化するための強力なツールです。そして、エクセルのソルバー機能を使えば、これらの問題を簡単に解くことができます。

確実等価額（Certain Equivalent）とリスクディスカウント額（Risk Discount）は、投資や経済における重要な概念です。

この記事では、デルタ関数のフーリエ変換について説明します。

三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説します。

チェザロ平均（チェザロへいきん、英: Cesàro mean, Cesàro average）とは、数列の最初の有限個の項から作られる算術平均のことです。数列の平均・チェザロ平均の極限についての命題をイプシロン・デルタ論法を用いてわかりやすく解説します。

σ有限な測度の定義と性質と具体的な例について解説します。測度論の基礎を理解し、この重要な概念について深く知ることで、より高度な数学や関連分野への理解を深めることができるでしょう。さあ、測度論の世界へと一緒に足を踏み入れてみましょう。

微分演算子がエルミート演算子でない一方で、虚数単位$latex i$を掛けるとエルミート演算子に変わるという興味深い性質について解説します。この特性は数学だけでなく、量子力学の理解にも大きな影響を与えるため、科学や数学に興味がある方々にとって非常に重要な概念です。

自然対数(log x)を二乗する関数(logx)^2の微分・積分・計算方法について、わかりやすく解説します。

ヘヴィサイド関数の微分がデルタ関数であることの証明。特に信号処理や電磁気学において頻繁に遭遇する特殊な関数、ヘヴィサイド関数とデルタ関数についての理解を深めよう。

フーリエ変換の性質のうち、微分と掛け算が交換することを証明します。 時間領域の微分演算子と周波数領域の乗法演算子が交換可能ということが証明されます。これはフーリエ変換が微分方程式を代数方程式に変換する助けになり、微分方程式の解析を容易にします。

微分が0になる超関数は定数関数に限ることの証明です。

フルラニ積分(Frullani Integral)の証明 命題 $latex a, b >0$ とする。$latex \mathbb R \setminus 0 $ 上の実数値関数 $latex f$ は、微分可能かつ $latex \lim_{s \rightarrow \infty} f(s), \quad \lim_{s \rightarrow 0} f(s)$ が収束するならば、...

e^{-a|x|}のフーリエ変換を計算 採用しているフーリエ変換に応じて適当に定数倍してください。 1次元におけるフーリエ変換 $latex a > 0$ をパラメータとする$latex \mathbb R$ 上の関数 \begin{align*} a^{-a|x|} \end{align*} とする。（これをラプラ...

複素数値関数$latex \frac{1}{z}$が正則であることを証明してみましょう。

2階線型同次方程式、あるいは2階線型斉次方程式と呼ばれる微分方程式のうち、定数係数であるものの解き方について簡単に説明します。

外測度(outer measure)は、集合論や測度論における重要な概念で、ある意味で集合の「大きさ」をはかるものです。以下に、外測度の基本的な定義と性質を述べます。

有界な集合の同相写像による像は有界な集合でしょうか。結論を先に述べると、反例があります。このことは、集合論や位相空間理論で一般的に扱われる話題です。

全単射が閉写像であることと開写像であることは同値であることを示します。

次の無限級数の収束を考えます。 \begin{align*} \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^2 - x} \end{align*} この無限級数が収束する$latex x$の範囲を求めることが目的です。 無限級数∑1/(n^2-x) が収束するようなxの範囲 事前準備 まず、次の公式を思い出して...

片側フーリエ変換の閉複素半平面への拡張について、一緒に探求してみましょう。さらに、その拡張がどのように振る舞うのか、そして零点がどのように分布するのかについても探求します。