ポアソン分布が再生性をもつことの証明をわかりやすく解説！！！

ポアソン分布の再生性、つまり独立なポアソン分布に従う確率変数の和もまたポアソン分布に従うことを証明します。

このことを証明してみましょう。
\begin{align*} Z = X + Y \end{align*}
という記号を導入して、\(k \in \mathbb N\)に対して
\begin{align*} P(Z = k) = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2) }{\frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^k}{k!}}\end{align*}
であることが証明できれば、証明は終了です。

なので、実際に\(P(Z = k)\)を計算してみましょう。
\begin{align*} &P(Z = k)
\\&= \sum_{t= 0}^k P(X = t)P(Y = k – t )
\\&= \sum_{t= 0}^k e^{-\lambda_1 } \frac{\lambda_1^t}{t!} e^{-\lambda_2} \frac{\lambda_2^{(k-t)}}{(k-t)!}
\\&= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \sum_{t= 0}^k \frac{\lambda_1^t}{t!} \frac{\lambda_2^{(k-t)}}{(k-t)!}
\\&= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \sum_{t= 0}^k \frac{1}{t! (k-t)!} \lambda_1^t \lambda_2^{(k-t)}
\\&= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \sum_{t= 0}^k \frac{1}{k!} k! \frac{1}{t! (k-t)!} \lambda_1^t \lambda_2^{(k-t)}
\\&= e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \sum_{t= 0}^k \frac{1}{k!} {}_{k}C_{t}\lambda_1^t \lambda_2^{(k-t)}
\\&=e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \frac{1}{k!} \sum_{t= 0}^k {}_{k}C_{t}\lambda_1^t \lambda_2^{(k-t)}
\\&=e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \frac{1}{k!} (\lambda_1 + \lambda_2) ^ k \end{align*}
となり、求める形になりました。
途中で、
\begin{align*}{}_{k}C_{t} = \frac{k!}{t! (k-t)!} \end{align*}
であることや、
\begin{align*} (\lambda_1 + \lambda_2) ^ k =\sum_{t= 0}^k {}_{k}C_{t}\lambda_1^t \lambda_2^{(k-t)} \end{align*}
であることを用いました。

これにより、ポアソン分布の再生性が示されました。