多項式カーネルの性質・半正定値性や一次独立性の証明をわかりやすく解説

多項式カーネルが半正定値であることの証明

R×R 上の関数を

k(x,y)=1+xy+x2y2++xdyd

により定めます。多項式によって定まるカーネルの一種です。この関数が二つの変数に関して対称であることは明らかでしょう。

半正定値性の定義

対称な実数値関数は、任意のλ:RR

#{xRλ(x)0}<+

であるものに対して、

(x,y)R×Rλ(x)λ(y)k(x,y)0

であるときに、半正定値であるといいます。λ は条件から0でないところが有限個しかないことから総和は有限和となります。

半正定値性の証明

実際、任意にλ:RR

#{xRλ(x)0}<+

であるものをとります。

(x,y)R×Rλ(x)λ(y)k(x,y)=(x,y)R×Rλ(x)λ(y)(1+xy+x2y2++xdyd)=(xRλ(x)(1+x+x2+xd))20

一次独立性

y1,,yd+1R を異なるd+1個の点とすると、

k(,y1),k(,y2),,k(,yd+1)

は一次独立です。なぜなら、

xmk(x,y)=m!ym++d(d1)(dm)xdmyd

であることから、

xmk(0,y)=m!ym

であるので、0におけるロンスキー行列は

W(0)=(111y1y2yd+12y122y222yd+12d!y1dd!y2dd!yd+1d)

となります。y1,,yd+1R が全て異なることから、この行列の列ベクトルは一次独立です。従って、ロンスキー行列は0 において正則です。このことは即ち、k(,y1),k(,y2),,k(,yd+1) が一次独立であることを意味しています。

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