冪等行列Aに対してrank(I-A)=dimKerAであることの証明

この記事では冪等行列Aに対して\(\textrm{rank}(I-A)=\textrm{dim} \textrm{ker}A\)であることを証明します。

まず\(n\)次正方行列\(A\)を冪等行列、つまり
\begin{align*} A^2 = A\end{align*}
を満たす行列とします。次の事実が成り立ちます。

このことを実際に確かめてみましょう。最初に
\begin{align*} \textrm{Im}(I-A) \subset \textrm{ker}(A) \end{align*}
を確かめます。\((I-A)x \in \textrm{Im}(I-A)\)をとると、
\begin{align*}A(I-A)x = Ax – A^2 x = Ax – Ax = 0 \end{align*}
なので、
\begin{align*} \textrm{Im}(I-A) \subset \textrm{ker}(A) \end{align*}
が確かめられました。次に、
\begin{align*}\textrm{Im}(I-A) \supset \textrm{ker}(A) \end{align*}
を確かめます。
\begin{align*}x \in \textrm{ker} A \end{align*}
をとると、\(Ax = 0\)なので、
\begin{align*} x = x – 0 = x – Ax = (I – A)x \in \textrm{Im}(I-A) \end{align*}
となるので、
\begin{align*}\textrm{Im}(I-A) \supset \textrm{ker}(A) \end{align*}
です。

このことから、
\begin{align*}\textrm{Im}(I-A) = \textrm{ker}(A) \end{align*}
であることがわかります。

さらにこのことから、
\begin{align*} \textrm{dim}\textrm{Im}(I-A) = \textrm{dim}\textrm{ker}(A) \end{align*}
なので、
\begin{align*}\textrm{rank}(I-A) = \textrm{dim}\textrm{ker}(A) \end{align*}
であることがわかります。