チェビシェフの不等式の証明をわかりやすく解説

2023年8月9日2024年8月10日

チェビシェフの不等式は、確率変数が特定の値から離れている確率を評価する不等式です。確率論や統計学における基本的かつ重要な不等式です。

チェビシェフの不等式の証明をわかりやすく解説

チェビシェフの不等式は次のような主張です。

定理：チェビシェフの不等式

\(X\)を確率密度関数を\(f\)である連続型確率変数とする。このとき、任意の\(c \in \mathbb R\) と任意の\(k >0\)に対して
\begin{align*} P(|X – c | > k ) \leq \frac{1}{k^2}E((X-c)^2) \end{align*}
が成り立つ。

チェビシェフの不等式は、確率変数\(X\)が値\(c\)から離れている確率について、
上からの評価を与える不等式です。

証明：
\begin{align*} E((X-c)^2)
&= \int_{\mathbb R} (x-c)^2 f(x) dx
\\&\geq \int_{|x-c| \geq k} (x-c)^2 f(x) dx
\\&\geq \int_{|x-c| \geq k} k^2 f(x) dx
\\&= k^2 P(|X-c| > k) \end{align*}

以上により証明が終了します。

応用：期待値から離れている確率を分散で評価する方法

\(X\)を期待値が\(\mu\)で、分散が\(\sigma^2\)であるとします。
すると、チェビシェフの不等式における\(c\)に確率変数の期待値\(\mu\)を代入すると、
\begin{align*} P(|X – \mu | > k ) \leq \frac{1}{k^2} V(X) \end{align*}
が得られます。

また、初めから確率変数\(X\) を
\begin{align*} Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \end{align*}
により標準化しておくと\(E(Z) = 0, V(Z)=1\)であるので、
\begin{align*} P(|Z| > k ) \leq \frac{1}{k^2} \end{align*}
が成り立ちます。\(Z\)を\(X\)に戻してやることで、
\begin{align*} P(|X – \mu| > k \sigma ) \leq \frac{1}{k^2} \end{align*}
という式を得ることができます。

チェビシェフの不等式(別の形)

\begin{align*} P(|X – \mu| > k \sigma ) \leq \frac{1}{k^2} \end{align*}

また、
\begin{align*}
P(|X – \mu| > k \sigma^2)
&= P( -k \sigma < X – \mu < k \sigma^2)
\\&= P( \mu -k \sigma < X < \mu + k \sigma ) \end{align*}
であることから、
\begin{align*} P( \mu -k \sigma < X < \mu + k \sigma ) \leq \frac{1}{k^2} \end{align*}
という評価を得ることもできます。

チェビシェフの不等式(別の形2)

\begin{align*} P( \mu -k \sigma < X < \mu + k \sigma ) \leq \frac{1}{k^2} \end{align*}

チェビシェフの不等式の使用例

\begin{align*} P( \mu – k \sigma < X < \mu + k \sigma ) \leq \frac{1}{k^2} \end{align*}
この形のチェビシェフの不等式を用いることで、\(X\)がある値の範囲に収まる確率を評価することができます。

\(X\) を\(E(X) = 2, \quad V(X)=9\)である連続型確率変数としましょう。
これらの値をチェビシェフの不等式にいれると、
\begin{align*} P( 2 -k 3 < X < 2 + k3) \leq \frac{1}{k^2} \end{align*}
という式を得ることができます。
このことから、例えば\(X\)が\(-4\)から\(8\)である確率を評価したい場合は、
\(k = 2\)を代入すると、
\begin{align*} P( -4 < X < 8 ) \leq \frac{1}{4}\end{align*}
となり、\(\frac{1}{4}\)以下であることがわかりました。