正則な行列は零因子でないことの証明

なぜ正則な行列が零因子でないのか、数学的に見ていきましょう。

正則な行列は零因子でないことの証明

\(A\) を\(n\) 次正方行列とします。

(非自明な)左零因子というのは、零行列ではないが、\(B \neq 0\) で\(A B = 0\) を満たすものが存在する行列です。

(非自明な)右零因子というのは、零行列ではないが、\(B \neq 0\) で\(B A= 0\) を満たすものが存在する行列です。

非自明な両側零因子とは、(非自明な)左零因子かつ(非自明な)右零因子である行列です。

という命題が成立します。

証明

\(A\) が左零因子とし仮定して背理法により矛盾を導きます。

\(A\) は左零因子であるので、\(n\) 次正方行列\(B \neq 0\) で

\begin{align*} AB = 0\end{align*}

であるものが存在します。一方で、

\(AB = 0\) の両辺に\(A^{-1}\)を左からかけると:

\begin{align*} B = 0\end{align*}

となります。これは、\(B \neq 0\) と矛盾します。

従って、\(A\) は左零因子ではありません。

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