非正則な正方行列が零行列または零因子であることの証明

この記事では、非正則な正方行列が零行列または零因子であることを証明します。まず、いくつかの基本的な定義を整理し、その後で証明に進みます。

非正則な正方行列が零行列または零因子であることの証明

定義を整理していきましょう。$A$ を$n$ 次正方行列とします。

$n$次正方行列$A$について、その行列式が非ゼロである場合、すなわち$det(A)\ne 0$である場合、$A$を正則行列といいます。

一方で、行列式がゼロである場合、$det(A)=0$、$A$は非正則行列と言われます。

零行列というのは、全成分が$0$ である行列のことです。

(左)零因子というのは、零行列ではないが、$B\ne 0$ で$AB=0$ を満たすものが存在する行列です。つまり、$0$ でないし、$0$ でない行列とかけたのに、$0$になることがあるような行列です。

(補足1)：$0$ を零因子に含める場合もありますが、今回は$0$と零因子を区別することにします。

(補足2)：行列全体は可換でないので、左零因子と右零因子は区別されます。従って両側零因子であることを示すには、右零因子であることを示す必要がありますが、転置行列が左零因子であることを示せばよいので、正方行列が左零因子であることが示せれば、自動的に右零因子にもなるので、結果的に自動的に両側零因子になります。

証明

$A$ の固有値を${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ とします。

$A$は非正則行列ですので、$detA=0$です。

$$\begin{array}{r}detA={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n\end{array}$$

ですので、

$$\begin{array}{r}{\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=0\end{array}$$

が成り立ちます。

したがって少なくとも一つの固有値${\lambda }_i$が$0$でなければなりません。

$0$を固有値として持つので、対応する固有ベクトルを$v$（$v\ne 0$）とします。

次に、$v$と$n-1$個の$0$ベクトルを並べて、$n\times n$行列

$$\begin{array}{r}(v,0,\dots ,0)\end{array}$$

を考えます。

$v$ が固有値$0$ に対応する固有ベクトルであることから、$A$ と $(v,0,\dots ,0)$ の積は

$$\begin{array}{r}A(v,0,\dots ,0)=0\end{array}$$

となります。

このことは、$A$ が零行列であるか、(左)零因子であることを意味します。以上により証明を終了します。

具体例

具体例をみてみましょう。

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\end{array}$$

という行列を考えます。行列式が$0$ なので正則ではありません。

$$\begin{array}{r}det\left(\begin{array}{cc}2–\lambda & 2\\ 1& 1–\lambda \end{array}\right)=\lambda (\lambda –3)\end{array}$$

なので、固有値は$0,3$です。

固有値$0$に対応する固有ベクトルとして

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\end{array}$$

がとれます。

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

となるので、確かに

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\end{array}$$

は(左)零因子であることが確かめられました。

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