再保険関数空間上の最適化問題が2パラメータの最適化問題に退化する状況を解説

$\mathcal{F}$を再保険関数全体の集合
$$\begin{gathered} \begin{array}{r}\mathcal{F}:=\{f:{\mathbb{R}}_{+}\to {\mathbb{R}}_{+}\mid f\text{ is increasing and convex}, \\ 0\le f(x)\le x\mathrm{\forall }x\ge 0\}.\end{array} \end{gathered}$$
とします。
ここで、 $f\in \mathcal{F}$は、損失$x$に対して再保険会社が元受保険会社に支払う保険金を$f(x)$とします。

さらに、$\mathcal{G}$を
$$\begin{array}{r}\mathcal{G}=\{f(x):=c(x–d{)}_{+}\in \mathcal{F}\mid c\in [0,1],d\ge 0\}\end{array}$$
によって定義します。すなわち、Stop Loss&QS型の再保険全体です。

損失を表す確率変数を$X$で書くことにします。再保険関数$f$に対するパラメータ$\alpha$のネットのコストを
$$\begin{array}{r}{H}_{\alpha }(f):=S^{-1}(\alpha )–f(S^{-1}(\alpha ))+(1+\rho )E(f(X))\end{array}$$
により定義します（$\rho$は出再の保険料が発生することによる安全割増）。
$S^{-1}(\alpha )–f(S^{-1}(\alpha ))$が正味の保険金で、$(1+\rho )E(f(X))$が出再による保険料の支出です。

任意の$f\in \mathcal{F}$に対して、$\overline{f}\in \mathcal{G}$で
$$\begin{array}{r}H(\overline{f})\le H(f)\end{array}$$
を満たすものが存在する。

実際、$f$の$S^{-1}(\alpha )$における劣微分
$$\begin{array}{r}{\partial }^{-}f(S^{-1}(\alpha ))=\{c\in \mathbb{R}|f(x)\ge f(S^{-1}(\alpha ))+c(x–S^{-1}(\alpha ))\text{ for all }x\in \mathbb{R}\}\end{array}$$
から適当に
$$\begin{array}{r}{c}_{\alpha }\in {\partial }^{-}f(S^{-1}(\alpha ))\end{array}$$
を一つ選んできて、
$$\begin{array}{r}\overline{f}(x)=c_{\alpha }{\left(x–(S^{-1}(\alpha )+\frac{f(S^{-1}(\alpha ))}{c_{\alpha }})\right)}_{+}\end{array}$$
とすれば、$\overline{f}\in \mathcal{G}$であり、
$$\begin{array}{r}H(\overline{f})\le H(f)\end{array}$$

となります。実際、
$$\begin{array}{r}\overline{f}(S^{-1}(\alpha ))=f(S^{-1}(\alpha ))\end{array}$$
であることと、
$$\begin{array}{r}{c}_{\alpha }{\left(x–(S^{-1}(\alpha )+\frac{f(S^{-1}(\alpha ))}{c_{\alpha }})\right)}_{+}={\left(c_{\alpha }(x–(S^{-1}(\alpha ))+f(S^{-1}(\alpha )))\right)}_{+}\end{array}$$
であり、劣微分の定義から
$$\begin{array}{r}f(x)\ge f(S^{-1}(\alpha ))+c_{\alpha }(x–S^{-1}(\alpha ))\text{ for all }x\in \mathbb{R}\end{array}$$
なので、
$$\begin{array}{r}f(x)\ge {(f(S^{-1}(\alpha ))+c_{\alpha }(x–S^{-1}(\alpha )))}_{+}\text{ for all }x\in \mathbb{R}\end{array}$$
となります（右辺が$0$になるときは$f(x)\ge 0$が成り立つかですが、成り立つので）。
そういうわけで、
$$\begin{array}{r}\overline{f}\le f\end{array}$$
なので、
$$\begin{array}{r}E(\overline{f})\le E(f)\end{array}$$
ということを踏まえると、
$$\begin{array}{r}{H}_{\alpha }(\overline{f})=S^{-1}(\alpha )–\overline{f}(S^{-1}(\alpha ))+(1+\rho )E(\overline{f}(X))\le S^{-1}(\alpha )–f(S^{-1}(\alpha ))+(1+\rho )E(f(X))=H_{\alpha }(f)\end{array}$$
ということが分かりました。