Sherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説

2025年2月16日2025年2月17日

この記事ではSherman-Morrison-Woodburyの公式の超簡単な証明をわかりやすく解説します。

Sherman-Morrison-Woodburyの公式

定理：Sherman-Morrison-Woodburyの公式

\(A\)を\(n\times n\)の正則行列、\(U\)を\(n\times k\)、\(C\)を\(k \times k\)の正則行列、\(V\)を\(k \times n\)の行列とします。
このとき、
\begin{align*} A + UCV \end{align*}
の逆行列は
\begin{align*} A^{-1} – A^{-1} U (C^{-1} + V A^{-1} U)^{-1} V A^{-1} \end{align*}
である。

証明は、直接計算が一番早いとおもいます。
\begin{align*}
&\Bigl(A^{-1} – A^{-1} U\Bigl(C^{-1}+V A^{-1}U\Bigr)^{-1} V A^{-1}\Bigr)(A+UCV)
\\&= A^{-1}(A+UCV) – A^{-1}U\Bigl(C^{-1}+V A^{-1}U\Bigr)^{-1}V A^{-1}(A+UCV)
\\&= I + A^{-1}UCV – A^{-1}U\Bigl(C^{-1}+V A^{-1}U\Bigr)^{-1} \Bigl(V + V A^{-1}UCV\Bigr)
\\&= I + A^{-1}UCV – A^{-1}U\Bigl(C^{-1}+V A^{-1}U\Bigr)^{-1}\Bigl((C^{-1}+V A^{-1}U)CV\Bigr)
\\&= I + A^{-1}UCV – A^{-1}U CV
\\&= I + A^{-1}UCV – A^{-1}UCV
\\&= I \end{align*}
より確かに逆行列であることが証明できました。

Sherman-Morrisonの公式

Sherman-Morrison-Woodburyの公式の特別な場合であるSherman-Morrisonの公式も紹介します。
Sherman-Morrison-Woodburyの公式の\(k = 1\)のバージョンです。

定理：Sherman-Morrisonの公式

\(A\)を\(n\times n\)の正則行列、\(u\)を\(n\times 1\)行列(つまり列ベクトル)、\(v^t\)を\(1 \times n\)の行列(つまり行ベクトル)とします。
このとき、
\begin{align*} A + uv^t \end{align*}
の逆行列は
\begin{align*} A^{-1} – \frac{A^{-1}uv^t A^{-1}}{1+v^t A^{-1}u} \end{align*}
である。

証明します。直接計算します。
\begin{align*}& \Bigl(A^{-1} – \frac{A^{-1}uv^t A^{-1}}{1+v^t A^{-1}u}\Bigr)(A+uv^t)
\\&= A^{-1}A + A^{-1}uv^t – \frac{A^{-1}uv^t A^{-1}A}{1+v^t A^{-1}u} – \frac{A^{-1}uv^t A^{-1}uv^t }{1+v^t A^{-1}u}
\\&= I + A^{-1}uv^t- \frac{A^{-1}uv^t}{1+v^t A^{-1}u} – \frac{A^{-1}uv^t A^{-1}uv^t}{1+v^t A^{-1}u}
\\&= I + A^{-1}uv^t – \frac{A^{-1}uv^t + ( A^{-1}uv^t)\,A^{-1}uv^t}{1+v^t A^{-1}u} \\&= I + A^{-1}uv^t – \frac{(1+A^{-1}uv^t)\,A^{-1}uv^t}{1+v^t A^{-1}u}
\\&= I + A^{-1}uv^t – A^{-1}uv^t
\\&= I\end{align*}
となります。