σ有限な測度の定義・性質・例をわかりやすく解説

σ有限な測度の定義と性質と具体的な例について解説します。測度論の基礎を理解し、この重要な概念について深く知ることで、より高度な数学や関連分野への理解を深めることができるでしょう。さあ、測度論の世界へと一緒に足を踏み入れてみましょう。

σ有限な測度の定義・性質・例をわかりやすく解説

\begin{align*} (X, \mathcal F, \mu) \end{align*}

を測度空間とします。さて、測度\(\mu\)について、

σ有限な測度空間であれば、ある程度有限測度空間の時と同じ命題が成り立つことが言えます。

具体例

1次元ユークリッド空間にルベーグ測度を備えた

\begin{align*} (\mathbb R, \mathcal B( \mathbb R), \mathcal L^1 ) \end{align*}

を考えると、有限測度空間ではありませんが、σ有限測度です。

実際、

\begin{align*} [-1, 1], [-2, 2], [-3, 3], \dots \end{align*}

という閉区間の列を考えてみましょう。任意の\(n \in \mathbb N\)に対して、

\begin{align*} \mu([-n, n]) = 2n < \infty \end{align*}

と有限になっていることと、

\begin{align*} \bigcup_{n \in \mathbb N} [-n, n] = \mathbb R \end{align*}

となっていることから、確かにσ有限であることが確かめられます。

性質1：増大列で定義してもいっしょ

\(\mu \) がσ有限であることと、

可算個の可測集合の増大列

\begin{align*} B_1 \subset B_2, \subset \dots \end{align*}

で、

\begin{align*} &(1)\quad \bigcup_{n \in \mathbb N} B_n = X \&(2)\quad \mu(B_n) < \infty \quad (\forall n \in \mathbb N) \end{align*}

となるものが存在することは必要十分条件です。

実際、このような増大列\(\{B_n \}\) がとれれば、それをそのまま\(A_n = B_n\) とすれば、σ有限であることが従います。

また逆に、σ有限であれば、\(A_1, A_2, \dots \) で\(\bigcup_n A_n = X\) となるものが存在するので。

\begin{align*} B_n = \bigcup_{k = 1}^n A_k \end{align*}

とすれば、

\begin{align*} B_n \subset B_{n + 1}\end{align*}

であることが確かめられるので、

求めていた可測集合の増大列が得られます。

性質2：有限でないがσ有限な測度空間には有限な正の測度をもつ可測集合が存在する

\begin{align*} (X, \mathcal F, \mu) \end{align*}

を有限ではない(つまり、\(\mu(X) = \infty\) である)がσ有限な測度空間とします。このとき、少なくとも一つ、可測集合\(A \in \mathcal F\) で

\begin{align*} 0 < \mu(A) < \infty \end{align*}

を満たすものがとれます。以下そのことを証明します。σ有限なので、可測集合の列\(A_1, A_2, \dots \)で\(\bigcup_n A_n = X\) を満たすものがとれます。仮に

\begin{align*} \mu(A_n) = 0 \quad (\forall n \in \mathbb N) \end{align*}

であったとすると、

\begin{align*}\mu(X) = \mu( \bigcup_n A_n ) \leq \sum_n \mu(A_n) = 0 \end{align*}

となるので、この測度空間が有限でないこと\(\mu(X) = \infty\) であることに矛盾します。従って、少なくともひとつは\(0 < \mu(A_N) < \infty\) であるものがとれます。