確率変数の二乗の確率密度関数の求め方を簡単に解説します。
確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説
連続型の確率変数を想定しています。まず最初に、適当な確率変数\(X\)に対して、
\begin{align*} f(x) = \partial_x F(x)\end{align*}
が成り立つことを思い出しておきます。ここで、\(f\)は\(X\)の確率密度関数で, \(F\)は\(X\)の累積分布関数です。
\(X\)を、 確率密度関数が\(f\)である確率変数とする。
\(Y = X^2\)とし, \(Y\)の確率密度関数を\(f_Y\)で表記することにする。 このとき、
\begin{align*} f_Y(y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_X(\sqrt y) + \frac{1}{2 \sqrt y } f_X(-\sqrt y) \end{align*}
となります。 (無論、 \(y\)は非負を想定しています。)
\(X, Y\)の累積分布関数をそれぞれ, \(F_X, F_Y\)で表記することにします。
\begin{align*} P(Y \leq y) &= P(X^2 \leq y) = P(- \sqrt y \leq X \leq \sqrt y) \\ &= F_X(\sqrt y) – F_X(\sqrt y)\end{align*}
ですので、
\begin{align*} f_Y(y) &= \partial_y \left( F_X(\sqrt y) – \partial_y F_X( – \sqrt y) \right)
\\&= \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_X(\sqrt y) + \frac{1}{2 \sqrt y } f_X(-\sqrt y) \end{align*}
となります。
（合成関数の微分を忘れたひとに補足しておくと、微分可能な関数\(g, h\)について, \(\partial_x g(h(x)) = g^\prime (h(x))h^\prime(x)\)です。）
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