確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説

2024年8月21日

確率変数の二乗の確率密度関数の求め方を簡単に解説します。

確率変数の二乗の確率密度関数の求め方をわかりやすく解説

連続型の確率変数を想定しています。まず最初に、適当な確率変数 $X$ に対して、
$\begin{array}{r} f (x) = \partial_{x} F (x) \end{array}$
が成り立つことを思い出しておきます。ここで、 $f$ は $X$ の確率密度関数で, $F$ は $X$ の累積分布関数です。

二乗の確率密度

$X$ を、確率密度関数が $f$ である確率変数とする。
$Y = X^{2}$ とし, $Y$ の確率密度関数を $f_{Y}$ で表記することにする。このとき、
$\begin{array}{r} f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (- \sqrt{y}) \end{array}$
となります。 (無論、 $y$ は非負を想定しています。)

$X, Y$ の累積分布関数をそれぞれ, $F_{X}, F_{Y}$ で表記することにします。

$\begin{aligned} P (Y \leq y) & = P (X^{2} \leq y) = P (- \sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) \\ = F_{X} (\sqrt{y}) - F_{X} (\sqrt{y}) \end{aligned}$
ですので、
$\begin{aligned} f_{Y} (y) & = \partial_{y} (F_{X} (\sqrt{y}) - \partial_{y} F_{X} (- \sqrt{y})) \\ = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (- \sqrt{y}) \end{aligned}$
となります。
（合成関数の微分を忘れたひとに補足しておくと、微分可能な関数 $g, h$ について, $\partial_{x} g (h (x)) = g^{'} (h (x)) h^{'} (x)$ です。）