三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説

三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説します。

三角関数(sin・cos)の総和の公式をわかりやすく解説

$a\in \mathbb{R}$ とします。sin関数の総和について

という公式が成り立ちます。この記事ではそのことを証明していきましょう。

事前準備

$$\begin{array}{rl}& \cos ((n-\frac{1}{2})x)=\cos (nx)\cos (\frac{1}{2}x)+\sin (nx)\sin (\frac{1}{2}x)\\ & \cos ((n+\frac{1}{2})x)=\cos (nx)\cos (\frac{1}{2}x)–\sin (nx)\sin (\frac{1}{2}x)\end{array}$$

が加法定理より成り立つことを思い出しておきましょう。すると、

$$\begin{array}{r}\cos ((n-\frac{1}{2})x)–\cos ((n+\frac{1}{2})x)=2\sin (nx)\sin (\frac{1}{2}x)\end{array}$$

となります。このことを踏まえて証明をしてみましょう。

証明

$$\begin{array}{rl}\cos ((1-\frac{1}{2})x)–\cos ((1+\frac{1}{2})x)& =2\sin (1x)\sin (\frac{1}{2}x)\\ \cos ((2-\frac{1}{2})x)–\cos ((2+\frac{1}{2})x)& =2\sin (2x)\sin (\frac{1}{2}x)\\ & ⋮\\ \cos ((N-1-\frac{1}{2})x)–\cos ((N-1+\frac{1}{2})x)& =2\sin ((N-1)x)\sin (\frac{1}{2}x)\\ \cos ((N-\frac{1}{2})x)–\cos ((N+\frac{1}{2})x)& =2\sin (Nx)\sin (\frac{1}{2}x)\end{array}$$

というふうに事前準備で示した結果を並べていきます。これらを全て足し合わせると、左辺はマイナスとプラスで打ち消し合う項がたくさんあるので、最終的に

$$\begin{array}{r}(\cos (-\frac{1}{2}x)–\cos (\frac{N+1}{2}x))=2\sum _{n=1}^N\sin (nx)\sin (\frac{1}{2}x)\end{array}$$

となります。これにより求めていた結果が得られました。

$\cos$ の場合にも同様に計算するといろんな公式を作り出すことができるでしょう。