正規分布のtail boundをわかりやすく解説

この記事では正規分布のtail boundの評価を解説します。

評価方法その1

\begin{align*} X \sim N(0,1)\end{align*}
とします。
\begin{align*} S(x) = P(X > x)\end{align*}
を評価します。
\begin{align*} 0 < x \leq \xi \Rightarrow 1 \leq \frac{\xi}{x} \end{align*}
なので、
\begin{align*} S(x) &= \int_x^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{\xi^2}{2}}d\xi \\&\leq \int_x^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{\xi}{x}e^{- \frac{\xi^2}{2}}d\xi \\&= \frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[- e^{\frac{\xi^2}{2}} \right]_x^\infty \\&= \frac{1}{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{x^2}{2}}\end{align*}

\begin{align*} X \sim N(\mu, \sigma^2)\end{align*}
の場合には、
\begin{align*}
S(x) \leq \frac{\sigma}{(x-\mu)\sqrt{2\pi}}e^{\frac{(x-\mu)^2}{2\,\sigma^2}} \end{align*}
となります。

評価方法その2

\begin{align*} X \sim N(0,1)\end{align*}
とします。
マルコフの不等式
\begin{align*} S(x) \leq P(X \geq x )\leq \frac{E(X)}{x}\end{align*}
を思い出しておきます。

\(\phi >0\)に対して
\begin{align*} S(x) = P(e^{\phi X} > e^{\phi x}) \leq \frac{E(e^{\phi X})}{e^{\phi x}} \end{align*}
です。
\begin{align*} \phi X \sim N(0, \phi ^2) \end{align*}
なので、対数正規分布の期待値から、
\begin{align*} E(e^{\phi X}) = e^{\frac{\phi^2}{2}}\end{align*}
となります。
なので、
\begin{align*} S(x) \leq \frac{e^{\frac{\phi^2}{2}}}{e^{\phi x}} \end{align*}
となります。
\begin{align*}\frac{e^{\frac{\phi^2}{2}}}{e^{\phi x}} = e^{- \phi x + \frac{\phi^2}{2}} \end{align*}
ですが、
\begin{align*}- \phi x + \frac{\phi^2}{2} \end{align*}
は\(\phi = x\)で最大値\(– \frac{x^2}{2}\)となるので、
\begin{align*} S(x) \leq e^{ – \frac{x^2}{2}}\end{align*}
となります。