テイラーの定理: 積分形の剰余項
人生で一度はテイラーの定理という言葉を聞いたことがあると思います。
テイラーの定理は、微分積分学において、k回微分可能な関数の与えられた点のまわりでの近似をk次の多項式によって表示する定理です。この定理により、関数を有限項の多項式で近似することができ、解析学において重要な役割を果たしています。
今回はテイラーの定理のうち、剰余項が積分の形になっているものを紹介しようとおもいます。
積分形のテイラーの定理は色々あると思いますが、そのうちのひとつを取り上げます。
テイラーの定理の積分形
(命題). \(f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R\) を滑らかな関数とします。
\begin{align*} f(x) = f(a) + \dots + \frac{1}{(n-1)!} f^{(n-1)}(a)(x-a)^{n-1} + \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x (x -t )^{n-1} f^{(n)} (t) dt \end{align*}
が成り立ちます。
最後の項は\(n-1\) ですので注意してください。この最後の項を剰余項といいます。
証明を考えてみましょう。
(証明). 帰納法で示すことにします。
\begin{align*} f(x) = f(a) + \int_a^x f^{(1)} (t) dt \end{align*}
が成り立ちます。\(n = k\) の時に成立していたら、
\begin{align*} \frac{1}{(k-1)!} \int_a^x (x -t )^{k-1} f^{k} (t) dt = \frac{1}{k!} (x – a)^k f^{(k)}(a) + \frac{1}{k!} \int_a^x (x-t) ^k f^{(k+1)} dt \end{align*}
であるので\(n = k +1\) の時にも成立するので、証明が終わります。
おまけ
多変数関数に対して成り立つことを紹介します。適当に多重指数を用いることにします。
(命題). \(f: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R\) を滑らかな関数とします。任意の\(h \in \mathbb R\) に対して、
\begin{align*} f(x + h) = \sum_{|\alpha | \leq n-1} \frac{1}{\alpha !} (h \partial)^\alpha f (x) + \int_0^1 (1 – t)^{n-1} \sum_{|\alpha | = n} \frac{1}{\alpha !} (h \partial )^\alpha f(x + th) dt \end{align*}
が成り立つ。
証明をしてみましょう。
(証明).
\(t \in \mathbb R\) に対して
\begin{align*} F(t) := f(x + th) \end{align*}
と定めます。この関数に対してテイラーの定理を用いることで、
\begin{align*} F(1) = F(0) + \partial_t F(0) + \frac{1}{2!} \partial_t ^2 F (0) + \dots + \frac{1}{(n-1)!}(\partial_t ^{n-1} F) (0) + \frac{1}{(n-1)!} \int_0^1 (1 – t)^{n-1} \partial_t ^n F(x + th) dt \end{align*}
となります。\(\partial_t = h_1 \partial_1 + \dots + h_n \partial_n\) であるので、
\begin{align*} \partial_t ^m = \sum_{| \alpha | = m} \frac{m!}{\alpha !} (h \partial)^\alpha \end{align*}
が成り立ちます。これでもって\(\partial_t\) を置き換えると主張が従います。証明を終わります。
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