累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解に書き直せることを解説

この記事では累積分布関数はロジスティック型の微分方程式の解として書き直せることを解説します。

12種類あるBurr型の分布は、
\begin{align*} \frac{d}{dx} F(x) = F(x)(1 – F(x))g(x, F(x))\end{align*}
というロジスティック型の微分方程式において、\(g\)を様々に変えることで導出された(はず)です。
\(F\)を微分可能で\(\frac{d}{dx}F(x) = f(x)\)とすると、
どんな累積分布関数もこのロジスティック型の微分方程式に表示を変えることができます。というのも、
\begin{align*}\frac{d}{dx} F(x) = f(x) =F(x)(1 – F(x)) \frac{f(x)}{F(x)(1 – F(x))} \end{align*}
なので、
\begin{align*} g(x, f) = \frac{f(x)}{y(1-y)} \end{align*}
とすれば、
\begin{align*} g(x, F(x)) = \frac{f(x)}{F(x)(1-F(x))} \end{align*}
なので、
\begin{align*} \frac{d}{dx} F(x) = F(x)(1 – F(x)) g(x, F(x)) \end{align*}
と表示することができます。

生存関数を用いると、
\begin{align*} \frac{d}{dx} F(x) = F(x)S(x) g(x, F(x))\end{align*}
と書くことができます。