L^1収束するならばフーリ変換が各点収束することの証明

フーリエ変換とは、信号処理や数学の分野で、関数を別の関数へと変換する手法です。具体的には、時空間領域の関数を周波数領域に変換します。これは高次元空間での波や振動を扱う際に非常に重要となります。

L^1収束するならばフーリ変換が各点収束することの証明

\(f\)を\(\mathbb R^n\)上の\(L^1\)空間に属する関数とします。これは、\(f\)が絶対可積分であることを意味します。\(\xi \in \mathbb R^n\)に対して、フーリエ変換\(Ff(\xi)\)は以下の式で定義されます：

\begin{align*} Ff(\xi) = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbb R^n} e^{-i\xi x } f(x) dx \end{align*}

さて、\(Ff(\xi)\)の絶対値に着目しましょう。次のような評価が得られます：

\begin{align*} |Ff(\xi)| \leq \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} \int_{\mathbb R^n} |f(x)| dx = \frac{1}{(2 \pi)^{n/2}} || f||_{L^1} \end{align*}

すなわち、\(Ff(\xi)\)の絶対値は、\(f\)の\(L^1\)ノルムに比例する定数で抑えられると言えます。ここで、\(L^1\)ノルムは、関数の絶対値を積分したものです。

応用

このことから、可積分関数が\(f_n \rightarrow f\) と\(L_1\) ノルムに関して収束するならば、フーリエ変換は各点収束するということがいえます。