対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説

この記事では、対数正規分布のモーメント法による推定量をわかりやすく解説します。

\begin{align*} X \sim LN(\mu, \sigma^2)\end{align*}
とします。サンプルの平均を\(m\)とし、分散を\(s^2\)とします。
モーメント法による\(\mu, \sigma^2\)の推定量は、
\begin{align*} E(X) = m, \quad V(X) = s^2\end{align*}
の解です。
実際に解いていきましょう。下記の記事で、対数正規分布の期待値と分散を計算しているので、忘れた人は確認しておきましょう。

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対数正規分布の確率密度関数・期待値・分散の導出の証明 統計学や確率論に慣れ親しんでいる方なら、正規分布について何度も聞いたことがあることでしょう。この記事では、対数正規分布の確率密度関数と期待値と分散を導出してみようと思います。

\begin{align*} E(X) = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}\end{align*}
で、
\begin{align*}V(X) = e^{2 \mu + \sigma^2 }\left(e^{\sigma^2} – 1 \right) \end{align*}
なので、
\begin{align*} e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} = m, \quad e^{2 \mu + \sigma^2 }\left(e^{\sigma^2} – 1 \right) = s^2 \end{align*}
を解くことになります。
\begin{align*}m^2 (e^{\sigma^2} – 1) = e^{2 \mu + \sigma^2 }\left(e^{\sigma^2} – 1 \right) = s^2 \end{align*}
より、
\begin{align*} e^{\sigma^2} – 1 = \frac{s^2}{m^2} \end{align*}
なので、
\begin{align*} e^{\sigma^2} = 1 + \frac{s^2}{m^2} \end{align*}
となります。ですので、
\begin{align*} \sigma^2 = \log{\left(1 + \frac{s^2}{m^2} \right)}\end{align*}
となります。また、
\begin{align*} e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} = m \end{align*}
より、
\begin{align*} \mu + \frac{\sigma^2}{2} = \log m\end{align*}
なので、
\begin{align*} \mu = \log m – \frac{\sigma^2}{2} = \log m – \frac{1}{2}\log{\left(1 + \frac{s^2}{m^2} \right)} \end{align*}
となります。

まとめると、