双線形形式をtraceによって表現するトリックをわかりやすく解説

2025年2月9日

この記事では双線形形式をtraceによって表現するトリックを説明します。
ただし、この記事内で\(x, y \in \mathbb R^n\)の\(n\)次正方行列\(A \in M_n\)による双線形形式というと、
\begin{align*} x^t A y\end{align*}
を指すこととします。

命題

\(x, y \in \mathbb R^n\)とし、\(A \in M_n\)を\(n\)次正方行列とする。この時、
\begin{align*} x^t A y = \text{tr}(x^t A y) \end{align*}
が成立する。したがって、特に、
\begin{align*} x^t A y = \text{tr}(x^t A y) = \text{tr}(A y x^t )\end{align*}
も成立する。

実際このことは明らかで、
\begin{align*}x^t A y \end{align*}
は\(1 \times 1\)行列なので、\(1\times 1\)行列はトレースをとっても同じ値だからです。
トレースの巡回性から、
\begin{align*} \text{tr}(x^t A y) = \text{tr}(A y x^t ) \end{align*}
も成立することがわかります。