\(L\)円を\(T\)期間で元金均等返済で貸し出すことを考えます。
各期の金利は\(i\)で、支払いは各期末に発生します。
受け取った返済金は、その期末にすぐに各期の利率\(j\)で再投資するものとします。
現在を\(1\)期の始まりと仮定し、各期末での返済金を継続的に再投資しながら、\(T\)期末には合計でどれくらいの金額になっているのかを計算します。
そして、その最終的な金額から、この貸付における真の利回り（内部収益率）を求めてみましょう。
ここでいう、内部収益率（Internal Rate of Return, IRR）とは、投資やプロジェクトのキャッシュフローから得られる実際の収益率を示す指標です。これは、投資の現在価値（NPV）がゼロになる割引率として定義されます。簡単に言うと、投資に対してどれだけのリターンが期待できるかを示すものです。IRRが高いほど、投資が生み出す利益率が高いと解釈されます。
返済されてくる各期のキャッシュフローを考えると、次のように表されます：
\begin{align*}L \frac{T}{T} i + \frac{L}{T}, \quad L \frac{T-1}{T} i + \frac{L}{T}, \quad \dots \quad ,L \frac{1}{T} i + \frac{L}{T} \end{align*}
ここで、各期のキャッシュフローは元金の返済分 \(\frac{L}{T}\) と、残りの元金に対する利息部分 \(L \frac{n}{T} i\) の合計として構成されています。このように各期の利息は、期が進むにつれて元金の残額が減少するため、徐々に小さくなります。
従って、全期間のキャッシュフローを利率\(i\)で、現在の価値に割り引くことにします。
が、若干計算がややこしいと思います。
\begin{align*}\frac{L}{T}, \frac{L}{T}, \quad \dots \quad ,\frac{L}{T} \end{align*}
という元金の均等返済の部分については、現在価値は、
\begin{align*} \frac{L}{T} \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i } \end{align*}
となります。
また、
\begin{align*}L \frac{T}{T} i , \quad L \frac{T-1}{T} i , \quad \dots \quad ,L \frac{1}{T} i \end{align*}
という利息の部分については、累減年金の現在価値の公式を用いることにします。
これによると、毎期\(1\)円ずつ減っていく\(n\)期間の期末払い年金の現在価値は、
\(n\)期間毎期\(1\)円払い期末払い年金の現在価値を\(a_n\)で表すことにすると、
\begin{align*} \frac{n – a_n}{i}\end{align*}
であるということなので、
\begin{align*} L \frac{T}{T} i \frac{T – a_T}{i} = L (T – a_T) = L\left(T – \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i} \right)\end{align*}
となります。
従って、両者を合わせると、特に数式を整理せずに愚直に書くと、
\begin{align*} \frac{L}{T} \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T } {i} + L\left(T – \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i } \right) \end{align*}
となります。
各期間に回収した額を再投資していったときの\(T\)期末の額は、
この上記の額を\(1\)期始に一度だけ投資して\(T\)期末まで運用し続けた時の額と等しいので、
\begin{align*} \left(\frac{L}{T} \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i } + L\left(T – \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i } \right) \right) \left(1 + j \right)^T \end{align*}
となります。
この投資の各期の利回りを\(r\)と表記することにすると、
\(r\)は、
\begin{align*} L (1 + r)^T = \left(\frac{L}{T} \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i} + L\left(T – \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i } \right) \right) \left(1 + j \right)^T \end{align*}
を満たすことがわかります。
つまり、
一旦、両辺を\(L\)で割ると、
\begin{align*} (1 + r)^T = \left(\frac{1}{T} \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i} + \left(T – \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i } \right) \right) \left(1 + j \right)^T \end{align*}
であるので、\(r\)を求めにいくと、
\begin{align*} r = \left(\frac{1}{T} \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i } + \left(T – \frac{ 1 – \left( \frac{1}{1 + i } \right)^T }{i } \right) \right)^{\frac{1}{T}} \left(1 + j \right) \,\,\, – \,\,\, 1 \end{align*}
となります。
コメント