一様分布の分散の求め方をわかりやすく解説

この記事では一様分布の分散の求め方を解説します。

実際に計算してみましょう。

一様分布\(U(a, b)\)の確率密度関数が
\begin{align*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & (\forall x \in [a, b]) \\ 0 & \textrm{otherwise} \end{cases} \end{align*}
であったことを思い出しておきます。

\begin{align*} V(X) = E(X^2) – (E(X))^2 \end{align*}
を用いて計算することにします。

期待値は、
\begin{align*}E(X) = \frac{a + b}{2} \end{align*}
であったので、
\begin{align*} E(X^2) \end{align*}
を計算しにいきます。
\begin{align*} &E(X^2)
\\&= \frac{1}{b-a} \int_a^b x^2 dx
\\&= \frac{1}{b-a}\frac{1}{3} (b^3 – a^3)
\\&= \frac{1}{b-a}\frac{1}{3} (b – a) (b^2 + ba + a^2)
\\&=\frac{1}{3} (b^2 + ba + a^2)
\\&= \frac{b^2 + ba + a^2}{3} \end{align*}

なので、
\begin{align*} &E(X^2) – (E(X))^2
\\&=\frac{b^2 + ba + a^2}{3} – \left( \frac{a + b}{2}\right)^2
\\&= \frac{b^2 + ba + a^2}{3} – \frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}
\\&= \frac{4(b^2 + ba + a^2) – 3 (a^2 + 2ab + b^2) }{12}
\\&= \frac{a^2 – 2ab + b^2}{12}
\\&= \frac{(b-a)^2}{12} \end{align*}
と求めることができました。