ヤングの不等式の証明と等号成立条件をわかりやすく解説

ヤングの不等式は、非負実数の積を評価する不等式で、ヘルダーの不等式の証明に用いられることから有名です。証明は対数関数の凸性からイェンゼンの不等式を使って証明します。ヤングの不等式の等号成立条件についても証明します。

ヤングの不等式の証明と等号成立条件をわかりやすく解説

ヤングの不等式には、関数の畳み込みに関するヤングの不等式もあり、ややこしいですが、
ここでは積に対するヤングの不等式の主張と証明を紹介します。

このことを証明するための予備知識をチェックしておきましょう。

予備知識

対数関数は上に凸な関数なので、イェンゼンの不等式から、
\(0 \leq t, s \leq 1\) で\(t + s = 1\) を満たす実数に対して、

\begin{align*} \log(tx + sy) \geq t \log (x) + s \log(y) = \log(x^t) + \log(y^s) = \log(x^t y^s) \end{align*}

という不等式が得られます。

また、真に上に凸であることから、等号が成立するのは

\begin{align*} x = y \end{align*}

の時に限ることが、イェンゼンの不等式の主張からわかります。

ヤングの不等式の証明

証明：

(1)\(a=0\)または\(b =0\)のとき
(2)\(0< a, b\)のとき
の2通りに場合分けして証明します。

(1)\(a=0\)または\(b =0\)の時は、
\begin{align*} ab = 0 \leq \frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q} b^q \end{align*}
であるので、確かに成立します。

(2)\(0< a, b\)の時は、予備知識で確認した証明した不等式
\begin{align*}\log(tx + sy) \geq \log(x^t y^s) \end{align*}
を用いると、
\begin{align*}\log(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q) \geq \log(\left(a^p \right)^{\frac{1}{p}} \left(b^q \right)^{\frac{1}{q}}) = \log(ab) \end{align*}
という式が得られます。従って、両辺の\(\exp\) を考えることで
\begin{align*} \exp \log(\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q) \geq \exp \log (ab) \end{align*}
が成り立つので、
\begin{align*}\frac{1}{p}a^p + \frac{1}{q}b^q \geq ab \end{align*}
という不等式が得られます。

これで証明を終了します。

等号成立条件

予備知識で確認したように、
\begin{align*} \log(tx + sy) \geq \log(x^t y^s) \end{align*}
の等号成立は、\(x = y\) の場合に限るのでした。
これはすなわち、ヤングの不等式の等号成立は\(a^p = b^q\) に限ることを意味しています。